Сравнительный анализ эффективности простейших систем массового обслуживания. Структура и показатели эффективности систем массового обслуживания Смо выбор показателей эффективности системы

1.1. Структура и параметры эффективности и качества функционирования СМО

Многие экономические задачи связаны с системами массового обслуживания, т.е. такими системами, в которых, с одной стороны, возникают массовые запросы (требования) на выполнение каких-либо услуг, с другой – происходит удовлетворение этих запросов. СМО включает в себя следующие элементы: источник требований, входящий поток требований, очередь, обслуживающие устройства (каналы обслуживания), выходящий поток требований. Исследованием таких систем занимается теория массового обслуживания.

Средства, обслуживающие требования, называются обслуживающими устройствами или каналами обслуживания. Например, к ним относятся заправочные устройства на АЗС, каналы телефонной связи, посадочные полосы, мастера-ремонтники, билетные кассиры, погрузочно-разгрузочные точки на базах и складах.

Методами теории массового обслуживания могут быть решены многие задачи исследования процессов, происходящих в экономике. Так, в организации торговли эти методы позволяют определить оптимальное количество торговых точек данного профиля, численность продавцов, частоту завоза товаров и другие параметры. Другим характерным примером систем массового обслуживания могут служить заправочные станции, и задачи теории массового обслуживания в данном случае сводятся к тому, чтобы установить оптимальное соотношение между числом поступающих на заправочную станцию требований на обслуживание и числом обслуживающих устройств, при котором суммарные расходы на обслуживания и убытки от простоя были бы минимальными. Теория массового обслуживания может найти применение и при расчете площади складских помещений, при этом складская площадь рассматривается как обслуживающее устройство, а прибытие транспортных средств под выгрузку – как требование. Модели теории массового обслуживания применяются также при решении ряда задач организации и нормирования труда, других социально-экономических проблем.

Каждая СМО включает в свою структуру некоторое число обслуживающих устройств, называемых каналами обслуживания (к их числу можно отнести лиц, выполняющих те или иные операции, - кассиров, операторов, менеджеров, и т.п.), обслуживающих некоторый поток заявок (требований), поступающих на ее вход в случайные моменты времени. Обслуживание заявок происходит за неизвестное, обычно случайное время и зависит от множества самых разнообразных факторов. После обслуживания заявки канал освобождается и готов к приему следующей заявки. Случайный характер потока заявок и времени их обслуживания приводит к неравномерности загрузки СМО - перегрузке с образованием очередей заявок или недогрузке - с простаиванием ее каналов. Случайность характера потока заявок и длительности их обслуживания порождает в СМО случайный процесс, для изучения которого необходимы построение и анализ его математической модели. Изучение функционирования СМО упрощается, если случайный процесс является марковским (процессом без последействия, или без памяти), когда работа СМО легко описывается с помощью конечных систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений первого порядка, а в предельном режиме (при достаточно длительном функционировании СМО) посредством конечных систем линейных алгебраических уравнений. В итоге показатели эффективности функционирования СМО выражаются через параметры СМО, потока заявок и дисциплины.

Из теории известно, чтобы случайный процесс являлся Марковским, необходимо и достаточно, чтобы все потоки событий (потоки заявок, потоки обслуживаний заявок и др.), под воздействием которых происходят переходы системы из состояния в состояние, являлись пуассоновским, т.е. обладали свойствами последствия (для любых двух непересекающихся промежутков времени число событий, наступающих за один из них, не зависит от числа событий, наступающих за другой) и ординарности (вероятность наступления за элементарным, или малый, промежуток времени более одного события пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью наступления за этот промежуток времени одного события). Для простейшего пуассоновского потока случайная величина Т (промежуток времени между двумя соседними событиями) распределена по показательному закону, представляя собой плотность ее распределения или дифференциальную функцию распределения.

Если же в СМО характер потоков отличен от пуассоновского, то ее характеристики эффективности можно определить приближенно с помощью Марковской теории массового обслуживания, причем тем точнее, чем сложнее СМО, чем больше в ней каналов обслуживания. В большинстве случаев для обоснованных рекомендаций по практическому управлению СМО совсем не требует знаний точных ее характеристик, вполне достаточно иметь их приближенные значения.

Каждая СМО в зависимости от своих параметров обладает определенной эффективностью функционирования.

Эффективность функционирования СМО характеризуют три основные группы показателей:

1. Эффективность использования СМО – абсолютная или относительная пропускные способности, средняя продолжительность периода занятости СМО, коэффициент использования СМО, коэффициент не использования СМО;

2. Качество обслуживания заявок- среднее время (среднее число заявок, закон распределения) ожидания заявки в очереди или пребывания заявки в СМО; вероятность того, что поступившая заявка немедленно примется к исполнению;

3. Эффективность функционирования пары CМО потребитель, причем под потребителем понимается как совокупность заявок или их некоторый источник (например, средний доход, приносимый СМО за единицу времени эксплуатации, и др).

1.2 Классификация СМО и их основные элементы

СМО классифицируются на разные группы в зависимости от состава и от времени пребывания в очереди до начала обслуживания, и от дисциплины обслуживания требований.

По составу СМО бывают одноканальные (с одним обслуживающим устройством) и многоканальные (с большим числом обслуживающих устройств). Многоканальные системы могут состоять из обслуживающих устройств как одинаковой, так и разной производительности.

По времени пребывания требований в очереди до начала обслуживания системы делятся на три группы:

1) с неограниченным временем ожидания (с ожиданием),

2) с отказами;

3) смешанного типа.

В СМО с неограниченным временем ожидания очередное требование, застав все устройства занятыми, становится в очередь и ожидает обслуживания до тех пор, пока одно из устройств не освободится.

В системах с отказами поступившее требование, застав все устройства занятыми, покидает систему. Классическим примером системы с отказами может служить работа автоматической телефонной станции.

В системах смешанного типа поступившее требование, застав все (устройства занятыми, становятся в очередь и ожидают обслуживания в течение ограниченного времени. Не дождавшись обслуживания в установленное время, требование покидает систему.

Кратко рассмотрим особенности функционирования некоторых из этих ситем.

1. СМО с ожиданием характеризуется тем, что в системе из n (n>=1) любая заявка, поступившая в СМО в момент, когда все каналы заняты, становится в очередь и ожидает своего обслуживания, причем любая пришедшая заявка обслужена. Такая система может находится в одном из бесконечного множества состояний: s n +к (r=1.2…) –все каналы заняты и в очереди находится r заявок.

2. СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди отличается от вышеприведенной тем, что эта система может находиться в одном из n+m+1 состояний. В состояниях s 0 ,s 1 ,…, s n очереди не существует, так как заявок в системе или нет или нет вообще и каналы свободны (s 0), или в системе есть несколько I (I=1,n) заявок, которого обслуживает соответствующее (n+1, n+2,…n+r,…,n+m) число заявок и (1,2,…r,…,m) заявок, стоящих в очереди. Заявка, пришедшая на вход СМО в момент времени, когда в очереди стоят уже m заявок, получает отказ и покидает систему необслуженной.

Т.о, многоканальная СМО работает по сути как одноканальная, когда все n каналов работают как один с дисциплиной взаимопомощи, называемой все как один, но с более высокой интенсивностью обслуживания. Граф состояний подобной подобной системы содержит всего два состояния: s 0 (s 1)- все n каналов свободны (заняты).

Анализ различных видов СМО с взаимопомощью типа все как один показывает, что такая взаимопомощь сокращает среднее время пребывания заявки в системе, но ухудшает ряд других таких характеристик, как вероятность отказа, пропускная способность, средние число заявок в очереди и время ожидания их выполнения. Поэтому для улучшения этих показателей используется изменение дисциплины обслуживания заявок с равномерной взаимопомощью между каналами следующим образом:

· Если заявка поступает в СМО в момент времени, когда все каналы свободны, то все n каналов приступает к ее обслуживанию;

· Если в это время приходит следующая заявка, то часть каналов переключается на ее обслуживание

· Если во время обслуживания этих двух заявок поступает третья заявка, то часть каналов переключается на обслуживание этой третьей заявки, до тех пор, пока каждая заявка, находящаяся в СМО, не окажется под обслуживанием только одного канала. При этом заявка, поступившая в момент занятости всех каналов, в СМО с отказами и равномерной взаимопомощью между каналами, может получить отказ и вынуждена будет покинуть систему необслуженной.

Методы и модели, применяющиеся в теории массового обслуживания, можно условно разделить на аналитические и имитационные.

Аналитические методы теории массового обслуживания позволяют получить характеристики системы как некоторые функции параметров ее функционирования. Благодаря этому появляется возможность проводить качественный анализ влияния отдельных факторов на эффективность работы СМО. Имитационные методы основаны на моделировании процессов массового обслуживания на ЭВМ и применяются, если невозможно применение аналитических моделей.

В настоящее время теоретически наиболее разработаны и удобны в практических приложениях методы решения таких задач массового обслуживания, в которых входящий поток требований является простейшим (пуассоновским).

Для простейшего потока частота поступления требований в систему подчиняется закону Пуассона, т.е. вероятность поступления за время t ровно k требований задается формулой:

Важная характеристика СМО - время обслуживания требований в системе. Время обслуживания одного требования является, как правило, случайной величиной и, следовательно, может быть описано законом распределения. Наибольшее распространение в теории и особенно в практических приложениях получил экспоненциальный закон распределения времени обслуживания. Функция распределения для этого закона имеет вид:

Т.е. вероятность того, что время обслуживания не превосходит некоторой величины t, определяется этой формулой, где µ- параметр экспоненциального обслуживания требований в системе, т.е. величина, обратная времени обслуживания t об:

Рассмотрим аналитические модели наиболее распространенных СМО с ожиданием, т.е. таких СМО, в которых требования, поступившие в момент, когда все обслуживающие каналы заняты, ставятся в очередь и обслуживаются по мере освобождения каналов.

Общая постановка задачи состоит в следующем. Система имеет n обслуживающих каналов, каждый из которых может одновременно обслуживать только одно требование.

В систему поступает простейший (пауссоновский) поток требований c параметром . Если в момент поступления очередного требования в системе на обслуживании уже находится не меньше n требований (т.е. все каналы заняты), то это требование становится в очередь и ждет начала обслуживания.

В системах с определенной дисциплиной обслуживания поступившее требование, застав все устройства занятыми, в зависимости от своего приоритета, либо обслуживается вне очереди, либо становится в очередь.

Основными элементами СМО являются: входящий поток требований, очередь требований, обслуживающие устройства, (каналы) и выходящий поток требований.

Изучение СМО начинается с анализа входящего потока требований. Входящий поток требований представляет собой совокупность требований, которые поступают в систему и нуждаются в обслуживании. Входящий поток требований изучается с целью установления закономерностей этого потока и дальнейшего улучшения качества обслуживания.

В большинстве случаев входящий поток неуправляем и зависит от ряда случайных факторов. Число требований, поступающих в единицу времени, случайная величина. Случайной величиной является также интервал времени между соседними поступающими требованиями. Однако среднее количество требований, поступивших в единицу времени, и средний интервал времени между соседними поступающими требованиями предполагаются заданными.

Среднее число требований, поступающих в систему обслуживания за единицу времени, называется интенсивностью поступления требований и определяется следующим соотношением:

где Т - среднее значение интервала между поступлением очередных требований.

Для многих реальных процессов поток требований достаточно хорошо описывается законом распределения Пуассона. Такой поток называется простейшим.

Простейший поток обладает такими важными свойствами:

1) Свойством стационарности, которое выражает неизменность вероятностного режима потока по времени. Это значит, что число требований, поступающих в систему в равные промежутки времени, в среднем должно быть постоянным. Например, число вагонов, поступающих под погрузку в среднем в сутки должно быть одинаковым для различных периодов времени, к примеру, в начале и в конце декады.

2) Отсутствия последействия, которое обуславливает взаимную независимость поступления того или иного числа требований на обслуживание в непересекающиеся промежутки времени. Это значит, что число требований, поступающих в данный отрезок времени, не зависит от числа требований, обслуженных в предыдущем промежутке времени. Например, число автомобилей, прибывших за материалами в десятый день месяца, не зависит от числа автомобилей, обслуженных в четвертый или любой другой предыдущий день данного месяца.

3) Свойством ординарности, которое выражает практическую невозможность одновременного поступления двух или более требований (вероятность такого события неизмеримо мала по отношению к рассматриваемому промежутку времени, когда последний устремляют к нулю).

При простейшем потоке требований распределение требований, поступающих в систему подчиняются закону распределения Пуассона:

вероятность того, что в обслуживающую систему за время t поступит именно k требований:

где. - среднее число требований, поступивших на обслуживание в единицу времени.

На практике условия простейшего потока не всегда строго выполняются. Часто имеет место нестационарность процесса (в различные часы дня и различные дни месяца поток требований может меняться, он может быть интенсивнее утром или в последние дни месяца). Существует также наличие последействия, когда количество требований на отпуск товаров в конце месяца зависит от их удовлетворения в начале месяца. Наблюдается и явление неоднородности, когда несколько клиентов одновременно пребывают на склад за материалами. Однако в целом пуассоновский закон распределения с достаточно высоким приближением отражает многие процессы массового обслуживания.

Кроме того, наличие пуассоновского потока требований можно определить статистической обработкой данных о поступлении требований на обслуживание. Одним из признаков закона распределения Пуассона является равенство математического ожидания случайной величины и дисперсии этой же величины, т.е.

Одной из важнейших характеристик обслуживающих устройств, которая определяет пропускную способность всей системы, является время обслуживания.

Время обслуживания одного требования ()- случайная величина, которая может изменятся в большом диапазоне. Она зависит от стабильности работы самих обслуживающих устройств, так и от различных параметров, поступающих в систему, требований (к примеру, различной грузоподъемности транспортных средств, поступающих под погрузку или выгрузку.

Случайная величина полностью характеризуется законом распределения, который определяется на основе статистических испытаний.

На практике чаще всего принимают гипотезу о показательном законе распределения времени обслуживания.

Показательный закон распределения времени обслуживания имеет место тогда, когда плотность распределения резко убывает с возрастанием времени t. Например, когда основная масса требований обслуживается быстро, а продолжительное обслуживание встречается редко. Наличие показательного закона распределения времени обслуживания устанавливается на основе статистических наблюдений.

При показательном законе распределения времени обслуживания вероятность события, что время обслуживания продлиться не более чем t, равна:

где v - интенсивность обслуживания одного требования одним обслуживающим устройством, которая определяется из соотношения:

где - среднее время обслуживания одного требования одним обслуживающим устройством.

Следует заметить, что если закон распределения времени обслуживания показательный, то при наличии нескольких обслуживающих устройств одинаковой мощности закон распределения времени обслуживания несколькими устройствами будет также показательным:

где n - количество обслуживающих устройств.

Важным параметром СМО является коэффициент загрузки , который определяется как отношение интенсивности поступления требований к интенсивности обслуживания v.

где a - коэффициент загрузки; - интенсивность поступления требований в систему; v - интенсивность обслуживания одного требования одним обслуживающим устройством.

Из (1) и (2) получаем, что

Учитывая, что - интенсивность поступления требований в систему в единицу времени, произведение показывает количество требований, поступающих в систему обслуживания за среднее время обслуживания одного требования одним устройством.

Для СМО с ожиданием количество обслуживаемых устройств п должно быть строго больше коэффициента загрузки (требование установившегося или стационарного режима работы СМО) :

В противном случае число поступающих требований будет больше суммарной производительности всех обслуживающих устройств, и очередь будет неограниченно расти.

Для СМО с отказами и смешанного типа это условие может быть ослаблено, для эффективной работы этих типов СМО достаточно потребовать, чтобы минимальное количество обслуживаемых устройств n было не меньше коэффициента загрузки :

1.3 Процесс имитационного моделирования

Как уже было отмечено ранее, процесс последовательной разработки имитационной модели начинается с создания простой модели, которая затем постепенно усложняется в соответствии с требованиями, предъявляемыми решаемой проблемой. В процессе имитационного моделирования можно выделить следующие основные этапы:

1. Формирование проблемы: описание исследуемой проблемы и определение целей исследования.

2. Разработка модели: логико-математическое описание моделируемой системы в соответствии с формулировкой проблемы.

3. Подготовка данных: идентификация, спецификация и сбор данных.

4. Трансляция модели: перевод модели на язык, приемлемый для используемой ЭВМ.

5. Верификация: установление правильности машинных программ.

6. Валидация: оценка требуемой точности и соответствие имитационной модели реальной системе.

7. Стратегическое и тактическое планирование: определение условий проведения машинного эксперимента с имитационной моделью.

8. Экспериментирование: прогон имитационной модели на ЭВМ для получения требуемой информации.

9. Анализ результатов: изучение результатов имитационного эксперимента для подготовки выводов и рекомендаций по решению проблемы.

10. Реализация и документирование: реализация рекомендаций, полученных на основе имитации, составление документации по модели и ее использованию.

Рассмотрим основные этапы имитационного моделирования. Первой задачей имитационного исследования является точное определение проблемы и детальная формулировка целей исследования. Как правило, определение проблемы является непрерывным процессом, который обычно осуществляется в течении всего исследования. Оно пересматривается по мере более глубокого понимания исследуемой проблемы и возникновения новых ее аспектов.

Как только сформулировано начальное определение проблемы, начинается этап построения модели исследуемой системы. Модель включает статистическое и динамическое описание системы. В статистическом описании определяются элементы системы и их характеристики, а в динамическом- взаимодействие элементов системы, в результате которых происходит изменение ее состояния во времени.

Процесс формирования модели во многом является искусством. Разработчик модели должен понять структуру системы, выявить правила ее функционирования и суметь выделить в них самое существенное, исключив ненужные детали. Модель должна быть простой для понимания и в то же время достаточно сложной, чтобы реалистично отображать характерные черты реальной системы. Наиболее важными являются принимаемые разработчиком решения относительно того, верны ли принятые упрощения и допущения, какие элементы и взаимодействия между ними должны быть включены в модель. Уровень детализации модели зависит от целей ее создания. Необходимо рассматривать только те элементы, которые имеют существенное значение для решения исследуемой проблемы. Как на этапе формирования проблемы, так и на этапе моделирования необходимо тесное взаимодействие между разработчиком модели и ее пользователями. Кроме того, тесное взаимодействие на этапах формулирования проблемы и разработки модели создает у пользователя уверенность в правильности модели, поэтому помогает обеспечить успешную реализацию результатов имитационного исследования.

На этапе разработки модели определяются требования к входным данным. Некоторые из этих данных могут уже быть в распоряжении разработчика модели, в то время как для сбора других потребуется время и усилия. Обычно значение таких входных данных задаются на основе некоторых гипотез или предварительного анализа. В некоторых случаях точные значения одного (и более) входных параметров оказывают небольшое влияние на результаты прогонов модели. Чувствительность получаемых результатов к изменению входных данных может быть оценена путем проведения серии имитационных прогонов для различных значений входных параметров. Имитационная модель, следовательно, может использоваться для уменьшения затрат времени и средств на уточнение входных данных. После того как разработана модель и собраны начальные входные данные, следующей задачей является перевод модели в форму, доступную для компьютера.

На этапах верификации и валидации осуществляется оценка функционирования имитационной модели. На этапе верификации определяется, соответствует ли запрограммированная для ЭВМ модель замыслу разработчика. Это обычно осуществляется путем ручной проверки вычисления, а также может быть использован и ряд статистических методов.

Установление адекватности имитационной модели исследуемой системы осуществляется на этапе валидации. Валидация модели обычно выполняется на различных уровнях. Специальные методы валидации включают установление адекватности путем использования постоянных значений всех параметров имитационной модели или путем оценивания чувствительности выходов к изменению значений входных данных. В процессе валидации сравнение должно осуществляться на основе анализа как реальных, так и экспериментальных данных о функционировании системы.

Условия проведения машинных прогонов модели определяется на этапах стратегического и тактического планирования. Задача стратегического планирования заключается в разработке эффективного плана эксперимента, в результате которого выясняется взаимосвязь между управляемыми переменными, либо находится комбинация значений управляемых переменных, минимизация или максимизация имитационной модели. В тактическом планировании в отличии от стратегического решается вопрос о том, как в рамках плана эксперимента провести каждый имитационный прогон, чтобы получить наибольшее количество информации из выходных данных. Важное место в тактическом планировании занимают определение условий имитационных прогонов и методы снижения дисперсии среднего значения отклика модели.

Следующие этапы в процессе имитационного исследования- проведение машинного эксперимента и анализ результатов- включают прогон имитационной модели на ЭВМ и интерпретацию полученных выходных данных. Последним этапом имитационного исследования является реализация полученных решений и документирование имитационной модели и ее использование. Ни одни из имитационных проектов не должен считаться законченным до тех пор, пока их результаты не были использованы в процессе принятия решений. Успех реализации во многом зависит от того, насколько правильно разработчик модели выполнил все предыдущие этапы процессов имитационного исследования. Если разработчик и пользователь работали в тесном контакте и достигли взаимопонимания при разработке модели и ее исследовании, то результат проекта скорее всего будет успешно внедряться. Если же между ними не было тесной взаимосвязи, то, несмотря на элегантность и адекватность имитационного моделирования, сложно будет разработать эффективные рекомендации.

Вышеперечисленные этапы редко выполняются в строго заданной последовательности, начиная с определения проблемы и кончая документированием. В ходе имитационного моделирования могут быть сбои в прогонах модели, ошибочные допущения, от которых в дальнейшем приходится отказываться, переориентировки целей исследования, повторные оценки и перестройки модели. Такой процесс позволяет разработать имитационную модель, которая дает верную оценку альтернатив и облегчает процесс принятия решений.

Глава 2. Распределения и генераторы псевдослучайных чисел

Ниже будут использованы следующие обозначения:

X - случайная величина; f(х) - функция плотности вероятности X; F(х) - функция вероятности X;

а - минимальное значение;

b - максимальное значение;

μ -математическое ожидание М[Х]; σ2 -дисперсия М[(Х-μ)2];

σ -среднеквадратичное отклонение; α-параметр функции плотности вероятности;

Очередь длины k, остается в ней с вероятностью Pk и не присоединяется к очереди с вероятностью gk=1 - Pk,". именно так обычно ведут себя люди в очередях. В системах массового обслуживания, являющихся математическими моделями производственных процессов, возможная длина очереди ограничена постоянной величиной (емкость бункера, например). Очевидно, это частный случай общей постановки. Некоторые...

Система массового обслуживания состоит из следующих элементов (рисунок 5.6).

1 - входящий поток требований ω(t ) – совокупность требований к СМО на проведение определенных работ (заправка, мойка, ТО и др.) или оказание услуг (покупка изделий, деталей, материалов и др.). Входящий поток требований может быть постоянным и переменным.

Требования бывают однородные (одинаковые виды работ или услуг) и неоднородные (разные виды работ или услуг).

2 - очередь – требования, ожидающие обслуживания. Очередь оценивается средней длиной r – числом объектов или клиентов, ожидающих обслуживания.

Рисунок 5.6 – Общая схема системы массового обслуживания

3 - обслуживающие аппараты (каналы обслуживания) – совокупность рабочих мест, исполнителей, оборудования, осуществляющих обслуживание требований по определенной технологии.

4 - выходящий поток требований ω’(t ) – поток требований, прошедших СМО. В общем случае выходящий поток может состоять из требований обслуженных и необслуженных. Пример необслуженных требований: отсутствие нужной детали для автомобиля, находящегося в ремонте.

5- замыкание (возможное) СМО – состояние системы, при котором входящий поток требований зависит от выходящего.

На автомобильном транспорте после обслуживания требований (ТО, ремонт) автомобиль должен быть технически исправным.

Системы массового обслуживания классифицируются следующим образом.

1 По ограничениям на длину очереди:

СМО с потерями – требование покидает СМО необслуженным, если в момент его поступления все каналы заняты;

СМО без потерь – требование занимает очередь, даже если все каналы
заняты;

СМО с ограничениями по длине очереди m или времени ожидания: если существует ограничение на очередь, то вновь поступившее (m +1)-е требование выбывает из системы необслуженным (например, ограниченная емкость накопительной площадки перед АЗС).

2 По количеству каналов обслуживания п:

Одноканальные: n =1;

Многоканальные n ≥2.

3 По типу обслуживающих каналов:

Однотипные (универсальные);

Разнотипные (специализированные).

4 По порядку обслуживания:

Однофазовые – обслуживание производится на одном аппарате (посту);

Многофазовые – требования последовательно проходит несколько аппаратов обслуживания (например, поточные линии ТО; конвейерная сборка автомобиля; линия внешнего ухода: уборка → мойка → обсушка → полировка).

5 По приоритетности обслуживания:

Без приоритета – требования обслуживаются в порядке их поступления на СМО;

С приоритетом – требования обслуживаются в зависимости от присвоенного им при поступлении ранга приоритетности (например, заправка автомобилей скорой помощи на АЗС; первоочередной ремонт на АТП автомобилей, приносящих наибольшую прибыль на перевозках).

6 По величине входящего потока требований:

С неограниченным входящим потоком;

С ограниченным входящим потоком (например, в случае предварительной записи на определенные виды работ и услуг).

7 По структуре СМО:

Замкнутые – входящий поток требований при прочих равных условиях зависит от числа ранее обслуженных требований (комплексное АТП, обслуживающее только свои автомобили (5 на рисунке 5.6));

Открытые – входящий поток требований не зависит от числа ранее обслуженных: АЗС общего пользования, магазин по продаже запасных частей.

8 По взаимосвязи обслуживающих аппаратов:

С взаимопомощью – пропускная способность аппаратов непостоянна и зависит от занятости других аппаратов: бригадное обслуживание нескольких постов СТО; использование «скользящих» рабочих;

Без взаимопомощи – пропускная способность аппарата не зависит от работы других аппаратов СМО.

Применительно к технической эксплуатации автомобилей находят распространение замкнутые и открытые, одно- и многоканальные СМО, с однотипными или специализированными обслуживающими аппаратами, с одно- или многофазовым обслуживанием, без потерь или с ограничением на длину очереди или на время нахождения в ней.

В качестве показателей эффективности работы СМО используют приведенные ниже параметры.

Интенссивность обслуживания

где ω - параметр потока требований.

показывает количество требований, поступающих в единицу времени, т.е.

где g - .

Относителъная пропускная способность определяет долю обслуженных требований от общего их количества.

Вероятность того, что все посты свободны Р 0 , характеризует такое состояние системы, при котором все объекты исправны и не требуют проведения технических воздействий, т.е. требования отсутствуют.

Вероятность отказа в обслуживании Р отк имеет смысл для СМО с потерями и с ограничением по длине очереди или времени нахождения в ней. Она показывает долю «потерянных» для системы требований.

Р оч определяет такое состояние системы, при котором все обслуживающие аппараты заняты, и следующее требование «встает» в очередь с числом ожидающих требований r.

Зависимости для определения названных параметров функционирования СМО определяются ее структурой.

где n зан - .

Время связи требования с системой:

СМО с потерями

СМО без потерь

где С 1 - стоимость простоя автомобиля в очереди;

r - средняя длина очереди;

С 2 -стоимость простоя обслуживающего канала;

n сн - количество простаивающих (свободных) каналов;

t ож - среднее время нахождения в очереди.

Из-за случайности входящего потока требований и продолжительности их выполнения всегда имеется какое-то среднее число простаивающих автомобилей. Поэтому требуется так распределить число обслуживающих аппаратов (постов, рабочих мест, исполнителей) по различным подсистемам, чтобы И= min. Этот класс задач имеет дело с дискретным изменением параметров, так как число аппаратов может изменяться только дискретным образом. Поэтому при анализе системы обеспечения работоспособности автомобилей используются методы исследования операций, теории массового обслуживания, линейного, нелинейного и динамического программирования и имитационного моделирования.

Пример. Станция технического обслуживания имеет один пост диагностирования (п= 1). Длина очереди ограничена двумя автомобилями (т= 2). Определить параметры эффективности работы диагностического поста, если интенсивность потока требований на диагностирование в среднем А =2 треб./ч, продолжительность диагностирования t д = 0,4 ч.

Интенсивность диагностирования μ=1/0,4=2,5.

Приведенная плотность потока ρ=2/2,5=0,8.

Вероятность того, что пост свободен,

P 0 =(1-ρ)/(1-ρ m +2)=(1-0,8)/(1-0,8 4)=0,339.

Вероятность образования очереди

P оч =ρ 2 Р 0 =0,8 2 0,339=0,217.

Вероятность отказа в обслуживании

P отк =ρ m +1 (1-ρ)/(1-ρ m +2)=0,8 3 (1-0,8)/(1-0,84)=0,173.

Относительная пропускная способность

g =1-P отк =1-0,173=0,827.

Абсолютная пропускная способность

А =2 0,827=1,654 треб./ч.

Среднее количество занятых постов или вероятность загрузки поста

n зан =(ρ-ρ m +2)/(1-ρ m +2)=(0,8-0,8 4)/(1-0,8 4)=0,661=1-P 0 .

Среднее количество требовниий, находящихся вочереди,

Среднее время нахождения требования в очереди

t ож =r /ω=0,564/2=0,282 ч.

Пример. На автотранспортном предприятии имеется один пост диагностирования (п= 1). В данном случае длина очереди практически неограниченна. Определить параметры эффективности работы диагностического поста, если стоимость простоя автомобилей в очереди составляет С 1 = 20 ре (расчетных единиц) в смену, а стоимость простоя постов С 2 = 15 ре Остальные исходные данные те же, что и для предыдущего примера.

Вероятность того, что пост свободен

P 0 =1-ρ=1-0,8=0,2.

Вероятность образования очереди

P оч =ρ 2 Р 0 =0,8 2 0,2=0,128.

Относительная пропускная способность g =1, так как все намеченные автомобили пройдут через диагностический пост.

Абсолютная пропускная способность А =ω=2 треб./ч.

Среднее количество занятых постов n зан =ρ=0,8.

r =ρ 2 /(1-ρ)=0,8 2 /(1-0,8)=3,2.

Среднее время ожидания в очереди

t ож =ρ 2 /(1-ρ)/μ=0,8 2 /(1-0,8)/2,5=1,6.

Издержки от функционирования системы

И =С 1 r +С 2 n сн +(С 1 +C 2)ρ=20 3,2+15 0,2+(20+15) 0,8=95,0 ре/смену.

Пример. На том же автотранспортном предприятии число постов диагностирования увеличено до двух (n =2), т.е. создана многоканальная система. Так как для создания второго поста необходимы капиталовложения (площади, оборудование и т.д.), то цена простоя средств обслуживания увеличивается до С’ 1 =22 ре. Определить параметры эффективности работы системы диагностирования. Остальные исходные данные те же, что для предыдущего примера.

Интенсивность диагностирования и приведенная плотность потока остаются теми же: μ=2,5, ρ=0,8.

Вероятность того, что оба поста свободны,

Р 0 =1:
=0,294.

Вероятность образования очереди

P оч =ρ n Р 0 /n !=0,8 2 0,294/2=0,094,

т.е. на 37 % ниже, чем в предыдущем примере.

Относительная пропускная способность g =1, так как все автомобили пройдут через диагностические посты.

Абсолютная пропускная способность А =2 треб./ч.

Среднее количество занятых постов n зан =ρ=0,8.

Среднее количество требований, находящихся в очереди,

r =ρP оч /(n -ρ)=0,8 2 0,094/(2-0,8)=0,063.

Среднее время нахождения в очереди

t ож =P оч /(n -ρ)/μ=0,094/(2-0,8)/2,5=0,031.

Издержки от функционирования системы

И =С 1 r +С 2 n сн +(С 1 +C 2)ρ=20 0,063+22 1,2+(20+22) 0,8=61,26 ре/смену,

т.е. в 1,55 раза ниже, чем при тех же условиях для одного диагностического поста, главным образом за счет сокращения очереди автомобилей на диагностику и времени ожидания автомобилей более чем в 50 раз. Следовательно, строительство второго диагностического поста в рассматриваемых условиях целесообразно. Используя формулу (5.18) из условия И 1 =И 2 , можно оценить предельные значения цены простоя средств обслуживания при строительстве и оснащении второго диагностического поста, которая в рассмотренном примере составляет C 2 пр =39 ре.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Курсовой проект

Сравнительный анализ эффективности простейши х систем массового обслуживания

Введение

массовый обслуживание производительность

В производственной деятельности и повседневной жизни часто возникают ситуации, когда появляется крайне важность в обслуживании требований или заявок поступающих в систему. Часто встречаются ситуации, в которых крайне важно пребывать в ситуации ожидания. Примерами тому может служить очередь покупателей у касс большого магазина, группа пассажирских самолетов, ожидающих разрешения на взлет в аэропорте, ряд вышедших из строя станков и механизмов, поставленных в очередь для починки в ремонтном цехе предприятия и т.д. Иногда системы обслуживания обладают ограниченными возможностями для удовлетворения спроса, и это приводит к образованию очередей. Как правило, ни время возникновения потребностей в обслуживании, ни продолжительность обслуживания заранее не известны. Избежать ситуации ожидания чаще всего не удается, но можно сократить время ожидания до какого-то терпимого предела.

Предметом теории массового обслуживания являются системы массового обслуживания (СМО). Задачами теории массового обслуживания являются анализ и исследование явлений, возникающих в системах обслуживания. Одна из базовых задач теории заключается в определении таких характеристик системы, которые обеспечивают заданное качество функционирования, к примеру, минимум времени ожидания, минимум средней длины очереди. Цель изучения режима функционирования обслуживающей системы в условиях, когда фактор случайности является существенным, контролировать некоторые количественные показатели функционирования системы массового обслуживания. Такими показателями, в частности являются среднее время пребывания клиента в очереди или доля времени, в течение которой обслуживающая система простаивает. При этом в первом случае мы оцениваем систему с позиции «клиента», тогда как во втором случае мы оцениваем степень загруженности обслуживающей системы. Путем варьирования операционными характеристиками обслуживающей системы может быть достигнут разумный компромисс между требованиями «клиентов» и мощностью обслуживающей системы.

1. Теоретическая часть

1.1 Классификация СМО

Системы массового обслуживания (СМО) классифицируются по разным признакам, что подробно изображено на рисунке 1.1.

Рисунок 1.1. Классификация СМО

По числу каналов обслуживания (n) СМО разделяются на одноканальные (n = 1) и многоканальные (n > 2). К одноканальным СМО в торговле можно отнести практически любой вариант локального обслуживания, например выполняемый одним продавцом, товароведом, экономистом, торговым аппаратом.

В зависимости от взаимного расположения каналов системы подразделяются на СМО с параллельными и с последовательными каналами. В СМО с параллельными каналами входной поток заявок на обслуживание является общим, и поэтому заявки в очереди могут обслуживаться любым свободным каналом. В таких СМО очередь на обслуживание можно рассматривать как общую.

В многоканальной СМО с последовательным расположением каналов каждый канал может рассматриваться как отдельная одноканальная СМО, или фаза обслуживания. Очевидно, выходной поток обслуженных заявок одной СМО является входным потоком для последующей СМО.

В зависимости от характеристик каналов обслуживания многоканальные СМО подразделяются на СМО с однородными и неоднородными каналами. Отличие состоит в том, что в СМО с однородными каналами заявка может обслуживаться любым свободным каналом, а в СМО с неоднородными каналами отдельные заявки обслуживаются только специально для этой цели предназначенными каналами, например кассы для оплаты одного-двух предметов в универсаме.

В зависимости от возможности образования очереди СМО подразделяются на два основных типа: СМО с отказами обслуживания и СМО с ожиданием (очередью) обслуживания.

В СМО с отказами возможен отказ в обслуживании, если все каналы уже заняты обслуживанием, а образовывать очередь и ожидать обслуживания нельзя. Примером такой СМО является стол заказов в магазине, в котором прием заказов осуществляется по телефону.

В СМО с ожиданием, если заявка находит все каналы обслуживания занятым, то она ожидает, пока не освободится хотя бы один из каналов.

СМО с ожиданием подразделяются на СМО с неограниченным ожиданием или с неограниченной очередью lоч и временем ожидания Точ и СМО с ограниченным ожиданием, в которых накладываются ограничения или на максимально возможную длину очереди (max lоч = m), или на максимально возможное время пребывания заявки в очереди (max Точ = Тогр), или на время работы системы.

В зависимости от организации потока заявок СМО подразделяются на разомкнутые и замкнутые.

В разомкнутых СМО выходной поток обслуженных заявок не связан с входным потоком заявок на обслуживание. В замкнутых СМО обслуженные заявки после некоторой временной задержки Тз снова поступают на вход СМО и источник заявок входит в состав СМО. В замкнутой СМО циркулирует одно и то же конечное число потенциальных заявок, например, посуда в столовой - через торговый зал, мойку и раздачу. Пока потенциальная заявка циркулирует и не преобразовалась на входе СМО в заявку на обслуживание, считается, что она находится в линии задержки.

Типовые варианты СМО определяются также и установленной дисциплиной очереди, которая зависит от преимущества в обслуживании, т.е. приоритета. Приоритет отбора заявок на обслуживание может быть следующий: первый пришел - первый обслужен; последний пришел - первый обслужен; случайный отбор. Для СМО с ожиданием и обслуживанием по приоритету возможны следующие виды: абсолютный приоритет, например для сотрудников контрольно-ревизионного управления, министра; относительный приоритет, например для директора торга на подведомственных ему предприятиях; специальные правила приоритета, когда обслуживание заявок оговорено в соответствующих документах. Существуют и другие типы СМО: с поступлением групповых заявок, с каналами разной производительности, со смешанным потоком заявок.

Совокупности СМО разных типов, объединенные последовательно и параллельно, образуют более сложные структуры СМО: секции, отделы магазина, универсама, торговой организации и т.п. Такое моделирование позволяет выявить существенные связи в торговле, применить методы и модели теории массового обслуживания для их описания, оценить эффективность обслуживания и разработать рекомендации по его совершенствованию.

1.2 Примеры СМО

Примерами СМО могут служить:

­ телефонные станции;

­ ремонтные мастерские;

­ билетные кассы;

­ справочные бюро;

­ магазины;

­ парикмахерские.

Как своеобразные системы массового обслуживания могут рассматриваться:

­ информационно-вычислительные сети;

­ операционные системы электронных вычислительных машин;

­ системы сбора и обработки информации;

­ автоматизированные производственные цехи, поточные линии;

­ транспортные системы;

­ системы противовоздушной обороны.

Близкими к задачам теории массового обслуживания являются многие задачи, возникающие при анализе надежности технических устройств.

Случайный характер, как потока заявок, так и длительности обслуживания приводит к тому, что в СМО будет происходить какой-то случайный процесс. Чтобы дать рекомендации по рациональной организации этого процесса и предъявить разумные требования к СМО, необходимо изучить случайный процесс, протекающий в системе, описать его математически. Этим и занимается теория массового обслуживания.

Заметим, что область применения математических методов теории массового обслуживания непрерывно расширяется и все больше выходит за пределы задач, связанных с обслуживающими организациями в буквальном смысле слова.

Число моделей систем (сетей) обслуживания, используемых на практике и изучающихся в теории, очень и очень велико. Даже для того, чтобы описать схематично основные их типы, требуется не один десяток страниц. Мы рассмотрим только системы с очередью. При этом будем предполагать, что эти системы являются открытыми для вызовов, т.е., заявки, поступают в систему извне (в некотором входном потоке), каждому из них требуется конечное число обслуживаний, по окончании последнего из которых заявка навсегда покидает систему; а дисциплины обслуживания таковы, что в любой момент времени каждый прибор может обслуживать не более одного вызова (другими словами, не допускается параллельного обслуживания двух и более заявок одним прибором).

Во всех случаях мы обсудим условия, которые гарантируют стабильную работу системы.

2 . Расчётная часть

2.1 Первый этап. Система с отказами

На данном этапе проведём минимизацию средней стоимости обслуживания одной заявки в единицу времени для системы с отказами. Для этого определим число каналов обслуживания, обеспечивающее в системе с отказами наименьшее значение параметра - средней стоимости обслуживания одной заявки в единицу времени.

В соответствии с вариантом задания определены следующие параметры системы:

­ интенсивность входного потока (среднее число заявок, поступающих в систему в единицу времени) 1/ед. времени.

­ среднее время обслуживания одной заявки ед. времени;

­ стоимость эксплуатации одного канала ед. стоим./канал;

­ стоимость простоя одного канала ед. стоим./канал;

­ стоимость эксплуатации одного места в очереди

­ ед. стоим./заявка в очереди;

­ стоимость убытков, связанных с уходом заявки из системы, получившей отказ в обслуживании ед. стоим.ед. врем.

Задавая значения (число каналов обслуживания) от единицы до шести, вычислим финальные вероятности и в соответствии с ними показатели эффективности системы. Результаты вычислений приведены в Таблица 2.1 и Таблица 2.2, а также показаны на графиках функций, приведённых на Рисунок 2.1.

Выполним расчеты по формулам 2.1.

Вероятность того, что занят один (в данном случае все) канал равна:

Так как канал всего один, то.

1/ед. времени.

1/ед. времени.

Коэффициент загрузки равен:

ед. времени.

Так как анализируемая система с отказами не имеет очереди, то среднее число заявок, находящихся в очереди равно нулю при любом числе каналов обслуживания.

Вычислим показатели эффективности для системы с отказами при.

Вероятность того, что все каналы свободны равна:

Вероятность того, что занято два (в данном случае все) канала равна:

Так как канала всего два, то.

Вероятность обслуживания заявки равна:

Абсолютная пропускная способность системы (среднее число обслуженных заявок в единицу времени) равна:

1/ед. времени.

Интенсивность потока не обслуженных заявок (среднее число заявок, получивших отказ в обслуживании, в единицу времени) равна:

1/ед. времени.

Среднее число занятых каналов равно:

Среднее число свободных каналов равно:

Коэффициент загрузки равен:

Время пребывания заявки в системе равно:

ед. времени.

Общая стоимость обслуживания всех заявок в единицу времени равна:

Средняя стоимость обслуживания одной заявки в единицу времени равна:

Вычислим показатели эффективности для системы с отказами при.

Вероятность того, что все каналы свободны равна:

Вероятность того, что занят один канал равна:

Вероятность того, что занято три (в данном случае все) канала равна:

Так как канала всего три, то.

Вероятность обслуживания заявки равна:

Абсолютная пропускная способность системы (среднее число обслуженных заявок в единицу времени) равна:

1/ед. времени.

Интенсивность потока не обслуженных заявок (среднее число заявок, получивших отказ в обслуживании, в единицу времени) равна:

1/ед. времени.

Среднее число занятых каналов равно:

Среднее число свободных каналов равно:

Коэффициент загрузки равен:

Время пребывания заявки в системе равно:

ед. времени.

Общая стоимость обслуживания всех заявок в единицу времени равна:

Средняя стоимость обслуживания одной заявки в единицу времени равна:

Вычислим показатели эффективности для системы с отказами при.

Вероятность того, что все каналы свободны равна:

Вероятность того, что занят один канал равна:

Вероятность того, что занято два канала равна:

Вероятность того, что занято три канала равна:

Вероятность того, что занято четыре (в данном случае все) канала равна:

Так как канала всего четыре, то.

Вероятность обслуживания заявки равна:

Абсолютная пропускная способность системы (среднее число обслуженных заявок в единицу времени) равна:

1/ед. времени.

Интенсивность потока не обслуженных заявок (среднее число заявок, получивших отказ в обслуживании, в единицу времени) равна:

1/ед. времени.

Среднее число занятых каналов равно:

Среднее число свободных каналов равно:

Коэффициент загрузки равен:

Время пребывания заявки в системе равно:

ед. времени.

Общая стоимость обслуживания всех заявок в единицу времени равна:

Средняя стоимость обслуживания одной заявки в единицу времени равна:

Для и вычисления выполняются аналогично, поэтому подробного приводить не требуется. Результаты расчётов также внесены в Таблица 2.1 и Таблица 2.2. и показаны на Рисунок 2.1.

Таблица 2.1. Результаты расчётов для СМО с отказами

Таблица 2.2. Вспомогательные расчёты для СМО с отказами

Полученные расчёты позволяют сделать вывод, что наиболее оптимальным количеством каналов системы с отказами будет, так как при этом обеспечивается минимальное значение средней стоимости обслуживания одной заявки в единицу времени, экономического показателя, характеризующего систему как с точки зрения потребителя, так и с точки зрения её эксплуатационных свойств.

Рисунок 2.1. Графики результирующих показателей СМО с отказами

Значения основных показателей эффективности оптимальной СМО с отказами:

ед. времени.

Допустимое для смешенной СМО значение времени пребывания заявки в системе вычисляется по формуле 2.2.

ед. времени.

2.2 Второй этап. Смешанная система

На данном этапе изучается, соответствующая заданию, система массового обслуживания с ограничением на время пребывания в очереди. Основной задачей этого этапа является решение вопроса о возможности с введением очереди обеспечить уменьшение значения оптимального для рассматриваемой системы значения экономического показателя С и улучшить другие показатели эффективности изучаемой системы.

Задавая значения параметра (среднего времени пребывания заявки в системе), вычислим те же показатели эффективности, что и для системы с отказами. Результаты вычислений приведены в Таблица 2.3 и Таблица 2.4, а также показаны на графиках функций, приведённых на Рисунок 2.2.

Для вычисления вероятностей и основных показателей эффективности используем следующие формулы:

,

,

,

,

,

,

, . 2.3

Выполним расчеты по формулам 2.3.

Значение показателя одинаково для всех.

.

.

Вероятность того, что все каналы свободны, вычисляется по формулам:

,

, . 2.4

Вычислим несколько первых членов ряда, использую формулы 2.3:

.

.

.

.

.

Выполним остальные расчеты по формулам 2.2.

Вычислим финальные вероятности:

.

.

.

.

Среднее число свободных каналов равно:

Среднее число занятых каналов равно:

.

1/ед. времени.

Интенсивность потока не обслуженных заявок (среднее число заявок, получивших отказ в обслуживании, в единицу времени) равна:

1/ед. времени.

.

ед. времени.

Общая стоимость обслуживания всех заявок в единицу времени равна:

ед. ст.

Средняя стоимость обслуживания одной заявки в единицу времени равна:

ед. ст.

Так как полученная средняя стоимость обслуживания одной заявки меньше аналогичного параметра оптимальной СМО с отказами

, следует увеличить.

Выполним расчёт показателей эффективности СМО с ограничением на время пребывания в очереди ед. времени.

.

Требуемая по заданию точность расчёта финальных вероятностей составляет 0,01. Для обеспечения данной точности достаточно вычислить приблизительную сумму бесконечного ряда с аналогичной точностью.

Для расчетов также используем формулы 2.2 и формулы 2.3.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Среднее число свободных каналов равно:

Среднее число занятых каналов равно:

канала

Вероятность обслуживания равна:

.

Абсолютная пропускная способность системы равна:

1/ед. времени.

Интенсивность потока не обслуженных заявок (среднее число заявок, получивших отказ в обслуживании, в единицу времени) равна:

1/ед. времени.

Коэффициент загрузки системы равен:

.

Среднее число заявок в очереди равно:

Вычислим среднее время пребывания заявки в системе, которое должно удовлетворять условию ед. времени.

ед. времени.

Общая стоимость обслуживания всех заявок в единицу времени равна:

ед. ст.

Средняя стоимость обслуживания одной заявки в единицу времени равна:

ед. ст.

Как видно из расчётов, увеличение приводит к уменьшению средней стоимости обслуживания одной заявки. Аналогично выполним расчёты с увеличением среднего времени пребывания заявки в очереди, результаты внесём в Таблица 2.3 и Таблица 2.4, а также отобразим на Рисунок 2.2.

Таблица 2.3. Результаты расчётов для смешанной системы

Таблица 2.4. Вспомогательные расчёты для смешанной системы

Полученные расчёты позволяют сделать вывод, что наиболее оптимальным средним временем пребывания заявки в очереди для системы с ограничением на время пребывания в очереди следует принять, так как при этом наименьшая средняя стоимость обслуживания одной заявки, а среднее время пребывания заявки в системе не превышает допустимого, то есть условие выполняется.

Рисунок 2.2. Графики результирующих показателей смешанной системы

Значения основных показателей эффективности оптимальной СМО с ограничением на время пребывания заявки в очереди:

ед. времени.

ед. времени.

Сравнивания показатели эффективности оптимальной системы с отказами и изучаемой оптимальной смешанной системы с ограничением на время пребывания в очереди можно заметить, кроме уменьшения средней стоимости обслуживания одной заявки, повышение загруженности системы и вероятности обслуживания заявки, что позволяет оценить исследуемую системы как более эффективную. Незначительное увеличение времени пребывания заявки в системе не влияет на оценку системы, так как ожидаемо при введении очереди.

2.3 Третий этап. Влияние производительности каналов

На этом этапе исследуем влияние производительности каналов обслуживания на эффективность системы. Производительность канала обслуживания определяется значением среднего времени обслуживания одной заявки. В качестве предмета исследования примем смешанную систему, признанную оптимальной на предыдущем этапе. Показатели эффективности этой первоначальной системы сравним с аналогичными показателями двух вариантов этой системы.

Вариант А. Система с уменьшенной производительностью каналов обслуживания за счет увеличения в два раза среднего времени обслуживания и с уменьшенными затратами, связанными с эксплуатацией и простоем оборудования.

, .

Вариант Б. Система с увеличенной производительностью каналов обслуживания за счет уменьшения в два раза среднего времени обслуживания и с увеличенными затратами, связанными с эксплуатацией и простоем оборудования.

, .

Результаты вычислений приведены в Таблица 2.5 и Таблица 2.6.

Выполним расчёт показателей эффективности СМО с уменьшенной производительностью каналов обслуживания.

ед. времени.

.

.

.

.

Вычислим вероятность того, что все каналы свободны.

Требуемая по заданию точность расчёта финальных вероятностей составляет 0,01. Для обеспечения данной точности достаточно вычислить приблизительную сумму бесконечного ряда с аналогичной точностью.

Вычислим несколько первых членов ряда:

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Вычислим остальные финальные вероятности:

.

.

.

.

Среднее число свободных каналов равно:

Среднее число занятых каналов равно:

канала

Вероятность обслуживания равна:

.

Абсолютная пропускная способность системы равна:

1/ед. времени.

Интенсивность потока не обслуженных заявок (среднее число заявок, получивших отказ в обслуживании, в единицу времени) равна:

1/ед. времени.

Коэффициент загрузки системы равен:

.

Среднее число заявок в очереди равно:

заявки.

ед. времени.

Общая стоимость обслуживания всех заявок в единицу времени равна:

ед. ст.

Средняя стоимость обслуживания одной заявки в единицу времени равна:

ед. ст.

Выполним расчёт показателей эффективности СМО с увеличенной производительностью каналов обслуживания.

ед. времени.

.

.

.

.

Вычислим вероятность того, что все каналы свободны.

Требуемая по заданию точность расчёта финальных вероятностей составляет 0,01. Для обеспечения данной точности достаточно вычислить приблизительную сумму бесконечного ряда с аналогичной точностью.

Вычислим несколько первых членов ряда:

.

.

.

.

.

.

Вычислим остальные финальные вероятности:

.

.

.

.

Среднее число свободных каналов равно:

Среднее число занятых каналов равно:

канала.

Вероятность обслуживания равна:

.

Абсолютная пропускная способность системы равна:

1/ед. времени.

Интенсивность потока не обслуженных заявок (среднее число заявок, получивших отказ в обслуживании, в единицу времени) равна:

1/ед. времени.

Коэффициент загрузки системы равен:

.

Среднее число заявок в очереди равно:

заявки.

Вычислим среднее время пребывания заявки в системе.

ед. времени.

Общая стоимость обслуживания всех заявок в единицу времени равна:

ед. ст.

Средняя стоимость обслуживания одной заявки в единицу времени равна:

ед. ст.

Таблица 2.5. Результаты расчётов третьего этапа

Таблица 2.6. Вспомогательные расчёты третьего этапа

Полученные результаты показывают не целесообразность увеличивать или уменьшать производительность каналов обслуживания. Так как при уменьшении производительности каналов обслуживания возрастает среднее время пребывания заявки в системе, хотя загруженность системы близка к максимальной. При увеличении производительности большая часть каналов обслуживания простаивает, но с точки зрения потребителя система эффективна, так как вероятность обслуживания близка к единице, а время пребывания заявки в системе невелико. Данный расчёт демонстрирует два варианта системы, первый из которых эффективен с точки зрения эксплуатационных свойств и не эффективен с точки зрения потребителя, а второй - наоборот.

Заключение

В ходе выполнения курсового проекта были изучены и рассмотрены система массового обслуживания с отказами и смешанная система массового обслуживания с ограничением на время пребывания в очереди, а также исследовано влияние производительности каналов обслуживания на эффективность системы, выбранной оптимальной.

Сравнивая оптимальные СМО с отказами и смешанную систему по параметрам эффективности, наилучшей следует признать смешанную систему. Так как средняя стоимость обслуживания одной заявки в смешанной системе меньше чем аналогичный параметр в СМО с отказами на 9%.

Анализируя эффективность с точки зрения эксплуатационных свойств системы, смешанная система показывает лучшие результаты по сравнению с СМО с отказами. Коэффициент загрузки и абсолютная пропускная способность смешанной системы больше на 10%, чем аналогичные параметры у СМО с отказами. С точки зрения потребителя вывод не так очевиден. Вероятность обслуживания смешанной системы выше почти на 10%, что говорит о большей эффективности смешанной системы по сравнению с СМО с отказами. Но также наблюдается увеличение времени пребывания заявки в системе на 20%, что характеризует СМО с отказами как более эффективную по данному параметру.

В результате исследований наиболее эффективной признана оптимальная смешанная система. Данная система имеет следующие преимущества перед СМО с отказами:

­ меньше затраты на обслуживание одной заявки;

­ меньше простоя каналов обслуживания, ввиду большей загруженности;

­ большая доходность, так как пропускная способность системы выше;

­ есть возможность выдержать неравномерность интенсивности поступающих заявок (увеличение нагрузки), ввиду наличия очереди.

Исследования влияния производительности каналов обслуживания на эффективность смешанной системы массового обслуживания с ограничением на время пребывания в очереди позволяют сделать вывод, что наилучшим вариантом будет исходная оптимальная смешанная система. Так как при уменьшении производительности каналов обслуживания система очень сильно «проседает» с точки зрения потребителя. Время пребывания заявки в системе увеличивается в 3,6 раза! А при увеличении производительности каналов обслуживания система настолько легко справляется с нагрузкой, что 75% времени будет простаивать, что является другой, экономически не эффективной, крайностью.

Учитывая вышеизложенное, оптимальная смешанная система является наилучшим выбором, так как демонстрирует баланс показателей эффективности с точки зрения потребителя и эксплуатационных свойств, имея при этом наилучшие экономические показатели.

Библиографи я

1 Дворецкий С.И. Моделирование систем: учебник для студ. высш. учеб. заведений / М.: Издательский центр «Академия». 2009.

2 Лабскер Л.Г. Теория массового обслуживания в экономической сфере: Учеб. пособие для вузов / М.: ЮНИТИ. 1998.

3 Самусевич Г.А. Теория массового обслуживания. Простейшие системы массового обслуживания. Методические указания по выполнению курсового проекта. / Е.: УрТИСИ СибГУТИ. 2015.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Истоки и история становления экономического анализа. Экономический анализ в условиях царской России, в послеоктябрьский период и в период перехода к рыночным отношениям. Теория массового обслуживания, ее применение и использование при принятии решений.

контрольная работа , добавлен 03.11.2010


Экономическая система в разных научных школах. Сравнительное исследование механизма функционирования разных экономических систем. Соотношение плана и рынка (аллокация ресурсов). Виды систем: современная, традиционная, плановая и смешанная (гибридная).

курсовая работа , добавлен 25.12.2014


Исследование особенностей повременной и сдельной заработной платы. Описание аккордной, контрактной и бестарифной систем оплаты труда. Бригадная форма организации труда. Анализ факторов, влияющих на заработную плату. Обзор причин неравенства в доходах.

курсовая работа , добавлен 28.10.2013


Методология сравнительного исследования экономических систем. Развитие взглядов на доиндустриальную экономическую систему. Рыночная экономика: концептуальная схема построения и реальная действительность. Модели смешанной экономики в развивающихся странах.

книга , добавлен 27.12.2009


Сущность массового типа организации производства и область его применения, основные показатели. Главные особенности применения массового типа организации производства на конкретном предприятии. Совершенствование управления массовым типом производства.

курсовая работа , добавлен 04.04.2014


Подходы к изучению экономики и экономического процесса. Хозяйственный механизм как часть экономической системы. Виды экономических систем. Капитализм, социализм и смешанная экономика в теории и на практике. Национальные модели экономических систем.

курсовая работа , добавлен 14.04.2013


Понятие экономических систем и подходы к их классификации. Основные модели развитых стран в рамках экономических систем. Основные черты и особенности шведской, американской, германской, японской, китайской и российской моделей переходной экономики.

курсовая работа , добавлен 11.03.2010


Сущность портфельного, бюджетного, проектного подходов к оценки проектов по внедрению информационных технологий в компании. Описание традиционных финансовых и вероятностных методик определения эффективности применения корпоративных информационных систем.

реферат , добавлен 06.12.2010


Понятие производственной функции и изокванты. Классификация малоэластичных, среднеэластичных и высокоэластичных товаров. Определение и использование коэффициентов прямых затрат. Использование метода теории игр в торговле. Системы массового обслуживания.

практическая работа , добавлен 04.03.2010


Понятие и классификация экономических систем, их разновидности и сравнительное описание. Сущность и главные условия существования рынка, закономерности и направления его развития. Понятие субъекта и объекта рыночной экономики, принципы управления.

• абсолютная и относительная пропускная способность системы;
• коэффициенты загрузки и простоя;
• среднее время полной загрузки системы;
• среднее время пребывания заявки в системе.

• P обс – вероятность обслуживания заявки,
• t сист – время пребывания заявки в системе.

• λ b – абсолютная пропускная способность системы (среднее число обслуженных заявок в единицу времени),
• P обс – относительная пропускная способность системы,
• k з – коэффициент загрузки системы.

Задача . В вычислительный центр коллективного пользования с тремя ЭВМ поступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если работают все три ЭВМ, то вновь поступающий заказ не принимается, и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр. Среднее время работы с одним заказом составляет 3 ч. Интенсивность потока заявок 0,25 (1/ч). Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы вычислительного центра.
Решение. По условию n=3, λ=0,25(1/ч), t об. =3 (ч). Интенсивность потока обслуживаний μ=1/t об. =1/3=0,33. Интенсивность нагрузки ЭВМ по формуле (24) ρ=0,25/0,33=0,75. Найдем предельные вероятности состояний:
по формуле (25) p 0 =(1+0,75+0,75 2 /2!+0,75 3 /3!) -1 =0,476;
по формуле (26) p 1 =0,75∙0,476=0,357; p 2 =(0,75 2 /2!)∙0,476=0,134; p 3 =(0,75 3 /3!)∙0,476=0,033 т.е. в стационарном режиме работы вычислительного центра в среднем 47,6% времени нет ни одной заявки, 35,7% - имеется одна заявка (занята одна ЭВМ), 13,4% - две заявки (две ЭВМ), 3,3% времени - три заявки (заняты три ЭВМ).
Вероятность отказа (когда заняты все три ЭВМ), таким образом, P отк. =p 3 =0,033.
По формуле (28) относительная пропускная способность центра Q = 1-0,033 = 0,967, т.е. в среднем из каждых 100 заявок вычислительный центр обслуживает 96,7 заявок.
По формуле (29) абсолютная пропускная способность центра A= 0,25∙0,967 = 0,242, т.е. в один час в среднем обслуживается 0,242 заявки.
По формуле (30) среднее число занятых ЭВМ k =0,242/0,33 = 0,725, т.е. каждая из трех ЭВМ будет занята обслуживанием заявок в среднем лишь на 72,5/3 =24,2%.
При оценке эффективности работы вычислительного центра необходимо сопоставить доходы от выполнения заявок с потерями от простоя дорогостоящих ЭВМ (с одной стороны, у нас высокая пропускная способность СМО, а с другой стороны - значительный простой каналов обслуживания) и выбрать компромиссное решение.

Задача . В порту имеется один причал для разгрузки судов. Интенсивность потока судов равна 0,4 (судов в сутки). Среднее время разгрузки одного судна составляет 2 суток. Предполагается, что очередь может быть неограниченной длины. Найти показатели эффективности работы причала, а также вероятность того, что ожидают разгрузки не более чем 2 судна.
Решение. Имеем ρ = λ/μ = μt об. =0,4∙2=0,8. Так как ρ = 0,8 < 1, то очередь на разгрузку не может бесконечно возрастать и предельные вероятности существуют. Найдем их.
Вероятность того, что причал свободен, по (33) p 0 = 1 - 0,8 = 0,2, а вероятность того, что он занят, P зан. = 1-0,2 = 0,8. По формуле (34) вероятности того, что у причала находятся 1, 2, 3 судна (т.е. ожидают разгрузки 0, 1, 2 судна), равны p 1 = 0,8(1-0,8) = 0,16; p 2 = 0,8 2 ∙(1-0,8) = 0,128; p 3 = 0,8 3 ∙(1-0,8) = 0,1024.
Вероятность того, что ожидают разгрузку не более чем 2 судна, равна
P=p 1 +p 2 +p 3 = 0,16 + 0,128 + 0,1024 = 0,3904
По формуле (40) среднее число судов, ожидающих разгрузки
L jч =0,8 2 /(1-0,8) = 3,2
а среднее время ожидания разгрузки по формуле (15.42)
T оч =3,2/0,8 = 4 сутки.
По формуле (36) среднее число судов, находящихся у причала, L сист. = 0,8/(1-0,8) = 4 (сутки) (или проще по (37) L сист. = 3,2+0,8 = 4 (сутки), а среднее время пребывания судна у причала по формуле (41) T сист = 4/0,8 = 5 (сутки).
Очевидно, что эффективность разгрузки судов невысокая. Для ее повышения необходимо уменьшение среднего времени разгрузки судна t об либо увеличение числа причалов n .

Задача . В универсаме к узлу расчета поступает поток покупателей с интенсивностью λ = 81 чел. в час. Средняя продолжительность обслуживания контролером-кассиром одного покупателя t об = 2 мин. Определить:
а. Минимальное количество контролеров-кассиров п min , при котором очередь не будет расти до бесконечности, и соответствующие характеристики обслуживания при n=n min .
б. Оптимальное количество n опт. контролеров-кассиров, при котором относительная величина затрат С отн., связанная с издержками на содержание каналов обслуживания и с пребыванием в очереди покупателей, задаваемая, например, как , будет минимальна, и сравнить характеристики обслуживания при n=n min и n=n опт.
в. Вероятность того, что в очереди будет не более трех покупателей.
Решение.
а. По условию l = 81(1/ч) = 81/60 = 1,35 (1/мин.). По формуле (24) r = l/ m = lt об = 1,35×2 = 2,7. Очередь не будет возрастать до бесконечности при условии r/n < 1, т.е. при n > r = 2,7. Таким образом, минимальное количество контролеров-кассиров n min = 3.
Найдем характеристики обслуживания СМО при п = 3.
Вероятность того, что в узле расчета отсутствуют покупатели, по формуле (45) p 0 = (1+2,7+2,7 2 /2!+2,7 3 /3!+2,7 4 /3!(3-2,7)) -1 = 0,025, т.е. в среднем 2,5% времени контролеры-кассиры будут простаивать.
Вероятность того, что в узле расчета будет очередь, по (48) P оч. = (2,7 4 /3!(3-2,7))0,025 = 0,735
Среднее число покупателей, находящихся в очереди, по (50) L оч. = (2,7 4 /3∙3!(1-2,7/3) 2)0,025 = 7,35.
Среднее время ожидания в очереди по (42) T оч. = 7,35/1,35 = 5,44 (мин).
Среднее число покупателей в узле расчета по (51) L сист. = 7,35+2,7 = 10,05.
Среднее время нахождения покупателей в узле расчета по (41) T сист. = 10,05/1,35 = 7,44 (мин).
Таблица 1