Методы умозаключения примеры. Сложные умозаключения

Большую часть знаний об окружающей нас действительности мы получаем с помощью рассуждений. Выводы в них будут истинными, если они являются результатами правильных рассуждений. Правильными рассуждениями считают рассуждения, построенные по правилам логики. Учителю нужны знания о тех правилах, в соответствии с которыми строятся правильные рассуждения. Рассуждения лежат в основе доказательств, без которых трудно представить математику.

В логике наряду с термином «рассуждение» используется термин «умозаключение».

Умозаключением (рассуждением) называется логическая операция, в результате которой получают новое знание на основе некоторого имеющегося знания или из некоторых утверждений А 1, А 2, А 3, А 4 … А n (n > 1) получают новое по отношению к исходным, утверждение В.

Умозаключение состоит из посылок и заключения .

Посылки умозаключения – это исходные утверждения, а заключением называется новое утверждение, т.е. утверждение, содержащее новое знание.

В логике принято указывать вначале посылки, а потом заключение, но в конкретном умозаключении их порядок может быть произвольным: вначале заключение – потом посылки; заключение может находиться между посылками.

Пример 1. Из двух утверждений «Все жидкости упруги» и «Вода – жидкость», можно получить новое утверждение следующим образом: «Все жидкости упруги. Вода – жидкость, значит, вода упруга». Здесь исходные утверждения «Все жидкости упруги» и «Вода – жидкость» являются посылками, а новое утверждение «Вода упруга» является заключением умозаключения.

Рассмотрим примеры умозаключений, которые выполняют младшие школьники при изучении математики.

Пример 2. Ученику предлагается объяснить, почему число 35 можно представить в виде суммы 30 и 5. Он рассуждает: «Число 23 – двухзначное. Любое двухзначное число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых. Следовательно, 35=30+5».

В этом умозаключении первое и второе предложения – посылки, причем первая – частная (характеризует только 35), а вторая – общего характера; заключение – это часть предложения, которая стоит после слова «следовательно», причем заключение носит частный характер.

Пример 3. Один из приемов ознакомления с переместительным свойством умножения заключается в следующем. Используя различные средства наглядности, школьники вместе с учителем устанавливают, что, например, 2∙5=5∙2, 6∙3=3∙6, 4∙7=7∙4. А затем на основе полученных равенств делают вывод: для всех натуральных чисел а и в верно равенство а∙в =в∙а .

В данном умозаключении посылками являются первые три равенства, в которых утверждается, что для конкретных натуральных чисел выполняется такое свойство, т.е. посылки будут частными. Заключением является утверждение общего характера – сделанный вывод.

Как видно из рассмотренных примеров, умозаключения бывают разные. В примерах 1 и 2 заключение логически следует из посылок, и мы не сомневаемся в его истинности.

В зависимости от того, существует ли между посылками и заключением отношение логического следования, выделяют два вида умозаключений: дедуктивные (лат. слово «deduction» означает «выведение »), которые в логике считают правильными и недедуктивные (неправильные) .

Дедуктивным умозаключением называется умозаключение, в котором посылки и заключение находятся в отношении логического следования, т.е. во всех случаях, когда посылки истинны, заключение тоже истинно.

Если посылки умозаключения обозначить буквами А 1 ,А 2 ,... А n , а заключение - буквой В, то схематично умозаключение можно представить в виде: А 1 ,А 2 ,...А n ⇒В.

Используют в логике и такую запись . Черта в данной записи заменяет слово «следовательно» («значит»).

В дедуктивном умозаключении из истинных посылок всегда следует истинное заключение. К дедуктивным умозаключениям относятся, например, следующие:

Пример 4. «Если идет дождь, то земля становится мокрой. Идет дождь. Следовательно, земля мокрая».

Пример 5. . Пример 6. .

Пример 7. Если х ∶2, то х - четное число. Число 2002∶2 .

Число 2002 - четное.

Пример 8. Если х ∶9, то х ∶3. Число 122 не делится на 3.

Число 122 не делится на 9.

Правильность умозаключения определяется его формой, а не истинностью входящих в него утверждений. При анализе правильности умозаключения необходимо помнить о том, что нельзя отождествлять правильность умозаключения с истинностью полученного вывода. В логике существуют правила, соблюдая которые, можно строить дедуктивные умозаключения. Эти правила называют правилами вывода или схемами дедуктивных умозаключений .

Наиболее часто встречаются следующие схемы дедуктивных умозаключений:

1. А(х )⇒В(х ), А(а ) - правило заключения ;

В(а )

2. А(х )⇒В(х ), В(а ) - правило отрицания ;

А(а )

3. А(х )⇒В(х ), В(х )⇒С(х ) - правило силлогизма .

А(х )⇒С(х )

В рассмотренных примерах 4 и 7 умозаключение построено по правилу заключения, в примерах 5 и 6 – по правилу силлогизма, в примере 8 – по правилу отрицания, значит все они дедуктивные умозаключения.

Приведем примеры умозаключений (рассуждений).

1) Нетрудно убедиться в истинности следующих высказываний:

3 + 2 < 3 · 2 (А 1),

4 + 3 < 4 · 3 (А 2),

7 + 5 < 7 · 5 (А 3).

На их основе можно сделать вывод (В): сумма двух любых натуральных чисел всегда меньше их произведения.

2) Если число х при счете называют раньше числа у, то х меньше у (А 1). Число 7 называют при счете раньше числа 8 (А 2). Следовательно, 7 < 8 (В).

Правильно строить дедуктивные умозаключения, анализировать их помогают правила логики:

Утверждение А (х ) Þ В (х ) называют общей посылкой, А (а ) – частной посылкой, В (а ) – заключением. По этому правилу выполнено умозаключение в примере 2.

Приведем пример использования этого правила в работе с дошкольниками.

Имеется одинаковое число чашек и блюдец.

Задание ребенку: «Покажи, что чашек столько же, сколько блюдец».

Рассуждения ребенка: «Поставим на каждое блюдце чашку».

Приведем пример умозаключения по этому правилу:

Рассмотрим пример использования правила отрицания в работе с дошкольниками.

Имеется несколько чашек и блюдец.

Задание ребенку: «Установи, поровну ли чашек и блюдец».

Рассуждения ребенка: «На одном блюдце нет чашки, значит блюдец больше, чем чашек».

Ошибки в рассуждениях, неправильные чертежи, неумение использовать теоремы и формулы приводят к ложному заключению.

Математики стали специально придумывать умышленно неправильные рассуждения, имеющие видимость правильного. Такие рассуждения называются софизмы. Разбор софизмов формирует умение правильно рассуждать, помогает усваивать многие математические факты.

Верно ли равенство? 25 + 35 – 60 = 30 + 42 – 72

Вынесем общий множитель за скобку. 5 · (5 + 7 – 12) = 6 · (5 + 7 – 12)

Разделим правую и левую часть 5 = 6

равенства на выражение в скобках.

Где ошибка? На 0 делить нельзя!

Существуют умозаключения, отличные от дедуктивных. Примером таких умозаключений могут быть неполная индукция и аналогия.

Неполная индукция – это умозаключение, при котором на основании того, что некоторые объекты совокупности обладают определенным свойством, делается вывод, что этим свойством обладают все объекты этой совокупности.

Примером неполной индукции является умозаключение в примере 1. Выводы в таких умозаключениях могут быть как истинными, так и ложными. В примере 1 заключение ложное.

Чтобы в этом убедиться, достаточно привести контрпример:

числа 3 и 1 – натуральные, 3 + 1 = 4, 3 · 1 = 3, 4 не меньше 3, т.е. нашлись два натуральных числа, сумма которых не меньше их произведения.

Рассмотрим еще один пример использования неполной индукции. Известно, что 15 делится на 5, 25 делится на 5, 35 делится на 5. Следовательно, можно утверждать, что любое число, запись которого оканчивается цифрой5, делится на 5. В данном случае заключение истинно – нам известен признак делимости на 5.

Выводы, получаемые при неполной индукции носит характер предположения, гипотезы. Их надо доказывать или опровергать.

Велика роль неполной индукции как способа получения общего знания, как способ открытия закономерностей, правил. Использование неполной индукции в обучении способствует развитию умений сравнивать, обобщать, делать выводы.

Приведем пример использования неполной индукции в работе с дошкольниками:

Наглядный материал: «Чудесный мешочек» с объемными геометрическими фигурами.

Задание ребенку: «Достань одну фигуру и назови».

Варианты ответов: - шар,

Здесь, наверное, все шары.

Иногда при обучении дошкольников используют вывод по аналогии , при котором осуществляют перенос знаний с изученного объекта на другой, менее изученный объект.

1) «У четырехугольника 4 угла и 4 стороны, следовательно у пятиугольника 5 углов и 5 сторон».

2) «Если треугольник разделит пополам,

получится два треугольника, следовательно,

если квадрат разделить пополам получится

два квадрата» (рис. 10). Рис. 9

Выводы полученные по аналогии могут быть истинными или ложными, их надо доказывать дедуктивным способом или опровергать контрпримером. Аналогия важна тем, что наводит нас на догадки, способствует развитию математической интуиции.

Задание 1. Назовите существенные свойства А В

Фигуры, изображенной на рисунке 2.

Умозаключение - это форма абстрактного мышления, посредством которой из ранее имевшейся информации выводится новая. При этом не задействуются органы чувств, т. е. весь процесс умозаключения проходит на уровне мышления и независим от получаемой в данный момент извне информации. Визуально умозаключение отражается в виде столбца, в котором присутствует как минимум три элемента. Два из них - это посылки, третье называют заключением. Друг от друга посылки и заключение принято отделять горизонтальной чертой. Заключение всегда пишется снизу, посылки - сверху. И посылки, и заключение представляют собой суждения. Причем эти суждения могут быть как истинными, так и ложными. Например:

Все млекопитающие - животные.

Все кошки - млекопитающие.

Все кошки - животные.

Это умозаключение является истинным.

Умозаключение имеет ряд преимуществ перед формами чувственного познания и опытными исследованиями. Так как процесс умозаключения проходит только в области мышления, он не затрагивает реальных предметов. Это очень важное свойство, так как зачастую у исследователя нет возможности получить для наблюдения или опытов реальный предмет в силу его дороговизны, размеров или удаленности. Некоторые предметы на данный момент вообще можно считать недоступными для прямого исследования. Например, к такой группе предметов можно отнести космические объекты. Как известно, исследование человеком даже ближайших к Земле планет представляется проблематичным.

Другим преимуществом умозаключений является то, что они позволяют получить достоверную информацию об изучаемом объекте. Например, именно посредством умозаключения Д. И. Менделеев создал свою периодическую систему химических элементов. В области астрономии зачастую положение планет определяется без любого видимого контакта, исходя только из уже имеющейся информации о закономерностях положения небесных тел.

Недостатком умозаключения можно назвать то, что зачастую заключения характеризуются абстрактностью и не отражают многих конкретных свойств предмета. Это не относится, например, к упомянутой выше периодической таблице химических элементов. Доказано, что при ее помощи были открыты элементы и их свойства, которые на тот момент еще не были известны ученым. Однако так бывает не во всех случаях. Например, при определении положения планеты астрономами свойства ее отражаются лишь приблизительно. Также зачастую нельзя говорить о правильности заключения до тех пор, пока оно не прошло проверку на практике.

Умозаключения могут быть истинными и вероятностными. Первые с достоверностью отражают реальное положение вещей, вторые носят неопределенный характер. Видами умозаключения являются: индукция, дедукция и заключение по аналогии.

Умозаключение - это прежде всего выведение следствий, оно применяется повсеместно. Каждый человек в своей жизни независимо от профессии строил умозаключения и получал следствия из этих заключений. И здесь встает вопрос истинности таких следствий. Человек, который не знаком с логикой, пользуется ею обывательским уровнем. То есть судит о вещах, строит умозаключения, делает выводы, исходя из того, что накопил в процессе жизни.

Несмотря на то что практически каждый человек проходит обучение основам логики в школе, учится у родителей, обывательский уровень знания нельзя считать достаточным. Конечно, в большинстве ситуаций достаточно и этого уровня, но есть процент случаев, когда логической подготовки просто не хватает, хотя именно в таких ситуациях она больше всего нужна. Как известно, существует такой вид преступлений, как мошенничество. Чаще всего мошенники пользуются простыми и проверенными схемами, однако некоторый процент их занимается высококвалифицированным обманом. Такие преступники знают логику едва ли не в совершенстве и, кроме того, обладают способностями в области психологии. Поэтому им зачастую ничего не стоит обмануть человека, который не подготовлен. Все это говорит о необходимости изучения логики как науки.

Выведение следствия - очень распространенная логическая операция. По общему правилу, для получения истинного суждения необходимо, чтобы и посылки были истинны. Однако данное правило не относится к доказательству от обратного. В этом случае намеренно берутся заведомо ложные посылки, которые необходимы, чтобы через отрицание их определить необходимый объект. Другими словами, ложные посылки в процессе выведения следствия отбрасываются.

Как и многое в классической логике, теория дедукции обязана своим появлением древнегреческому философу Аристотелю. Он разработал большую часть вопросов, связанных с этим видом умозаключений.

Согласно работам Аристотеля дедукция - это переход в процессе умозаключения от общего к частному. Другими словами, дедукцией является постепенная конкретизация более абстрактного понятия. Она проходит через несколько ступеней, каждый раз выводя следствие из нескольких посылок.

Необходимо сказать, что в процессе дедуктивного умозаключения должно получаться истинное знание. Такой цели можно добиться только при соблюдении необходимых условий, правил. Правила вывода бывают двух видов: правила прямого и правила косвенного вывода. Прямой вывод означает получение из двух посылок заключения, которое будет истинным при условии соблюдения правил прямого вывода.

Так, должны быть истинны посылки и соблюдены правила получения следствий. При соблюдении этих правил можно говорить о правильности мышления относительно взятого предмета. Это означает, что для получения истинного суждения, нового знания не обязательно иметь всю информацию. Часть сведений может быть воссоздана логическим путем и закреплена. Закрепление необходимо, так как без него сам процесс получения новой информации становится бессмысленным. Ни передать такую информацию, ни как-либо иначе использовать ее не представляется возможным. Естественно, что такое закрепление происходит посредством языка (разговорный, письменный, язык программирования и т. д.). Закрепление в логике происходит прежде всего при помощи символов. Например, это могут быть символы конъюнкции, дизъюнкции, импликации, буквенные выражения, скобки и др.

Дедуктивными являются следующие типы умозаключений: выводы логических связей и субъектно-предикатные выводы.

Также дедуктивные умозаключения бывают непосредственными.

Они делаются из одной посылки и называются превращением, обращением и противопоставлением предикату, отдельно рассматриваются умозаключения по логическому квадрату. Выводятся такие умозаключения из категорических суждений.

Рассмотрим эти умозаключения. Превращение имеет схему:

S не есть не-Р.

По этой схеме видно, что посылка только одна. Это категорическое суждение. Превращение характеризуется тем, что при изменении качества посылки в процессе вывода не происходит изменения ее количества, а предикат следствия отрицает предикат посылки. Есть два способа превращения - двойное отрицание и замена отрицания в предикате отрицанием в связке. Первый случай отражен на схеме, приведенной выше. Во втором превращение отражается на схеме как S есть не-Р - S не есть Р.

В зависимости от типа суждения превращение можно выразить следующим образом.

Все S есть Р - Ни одно S не есть не-Р. Ни одно S не есть Р - Все S есть не-Р. Некоторые S есть Р - Некоторые S не есть не-Р. Некоторые S не есть Р - Некоторые S есть не-Р. Обращение - это умозаключение, в котором при перемене мест субъекта и предиката качество посылки не меняется.

То есть в процессе вывода субъект встает на место предиката, а предикат - на место субъекта. Соответственно, схему обращения можно изобразить как S есть Р - Р есть S.

Обращение бывает с ограничением и без ограничения (его еще называют простое или чистое). Это разделение основывается на количественном показателе суждения (имеется в виду равенство или неравенство объемов S и Р). Это выражается в том, изменилось ли кванторное слово или нет и распределены ли субъект и предикат. Если такое изменение происходит, то имеет место обращение с ограничением. В обратном случае можно говорить о чистом обращении. Напомним, что кванторное слово - это слово - показатель количества. Так, слова «все», «некоторые», «ни один» и другие являются кванторными словами.

Противопоставление предикату характеризуется тем, что связка в следствии меняется на противоположную, субъект противоречит предикату посылки, а предикат эквивалентен субъекту посылки.

Необходимо сказать, что непосредственное умозаключение с противопоставлением предикату невозможно вывести из частноутвердительных суждений.

Приведем схемы противопоставления в зависимости от типов суждений.

Некоторые S не есть Р - Некоторые не-Р есть S. Ни одно S не есть Р - Некоторые не-Р есть S. Все S есть Р - Ни одно Р не есть S.

Объединяя сказанное, можно рассматривать противопоставление предикату как продукт сразу двух непосредственных умозаключений. Первым из них производится превращение. Его результат подвергается обращению.

Говоря о дедуктивных умозаключениях, нельзя не обратить внимания на условные и разделительные умозаключения.

Условные умозаключения называются так потому, что в качестве посылок в них используются условные суждения (если а, то b). Условные умозаключения можно отразить в виде следующей схемы.

Если а, то b. Если b, то с. Если а, то с.

Выше указана схема умозаключений, являющихся видом условных. Для таких умозаключений характерно, что все их посылки являются условными.

Другим видом условных умозаключений являются условно-категорические суждения. Соответственно названию в этом умозаключении не обе посылки являются условными суждениями, одна из них - простое категорическое суждение.

Необходимо также упомянуть о модусах - разновидностях умозаключений. Существуют: утверждающий модус, отрицающий модус и два вероятностных модуса (первый и второй).

Утверждающий модус имеет самое широкое распространение в мышлении. Это связано с тем, что он дает достоверное заключение. Поэтому правила различных учебных дисциплин строятся в основном на основе утверждающего модуса. Можно отобразить утверждающий модус в виде схемы.

Если а, то b.

Приведем пример утверждающего модуса.

Если топор упадет в воду, он утонет.

Топор упал в воду.

Он утонет.

Два истинных суждения, которые являются посылками этого суждения, преобразуются в процессе вывода в истинное суждение. Отрицающий модус выражается по следующей схеме. Если а, то b. Не-b. Не-а.

Это суждение строится на основе отрицания следствия и отрицания основания.

Умозаключения могут давать не только истинные, но и неопределенные суждения (неизвестно, истинны они или ложны).

В связи с этим следует сказать о вероятностных модусах.

Первый вероятностный модус на схеме отображается следующим образом.

Если а, то b.

Вероятно, а.

Как ясно из названия, следствие, выводимое из посылок при помощи этого модуса, является вероятным.

Если дует сильный ветер, то яхту кренит набок.

Яхту кренит набок.

Вероятно, дует сильный ветер.

Как мы видим, от утверждения следствия к утверждению основания невозможно вывести истинное умозаключение.

Второй вероятностный модус в виде схемы можно изобразить так.

Если а, то b. Не-а.

Вероятно, не-b. Приведем пример.

Если человек лежит под солнцем, он загорит.

Этот человек не лежит под солнцем.

Он не загорит.

Как видно из приведенного примера, производя умозаключение от отрицания основания к отрицанию следствия, мы получим не истинное, а вероятностное следствие.

Формулы утверждающего и отрицающего модусов являются законами логики, в то время как формулы вероятностных - не являются.

Разделительные умозаключения делятся на простые разделительные и разделительно-категорические умозаключения. В первом случае разделительными являются все посылки. Соответственно, разделительно-категорические суждения имеют в качестве одной из посылок простое категорическое суждение.

Таким образом, разделительным считается умозаключение , все или часть посылок которого являются разделительными суждениями. Структура простого разделительного умозаключения отражается следующим образом.

S есть А или В, или С.

А есть А1 или А2.

S есть А1 или А2, или В, или С.

Примером такого умозаключения является следующее.

Путь бывает прямым или окружным.

Окружный путь бывает с одной пересадкой или с несколькими пересадками.

Путь бывает прямым или с одной пересадкой, или с несколькими пересадками.

S есть А или В. S есть А (В). S не есть В (А). Например:

Выстрел бывает точным и неточным. Этот выстрел является точным. Этот выстрел не является неточным.

Здесь необходимо упомянуть об условно-разделительных умозаключениях. От указанных выше умозаключений они отличаются посылками. Одна из них - это разделительное суждение, что не является особенным, однако вторая посылка таких суждений состоит из двух или нескольких условных суждений.

Условно-разделительное суждение может быть или дилеммой, или трилеммой. В дилемме условная посылка состоит из двух членов. При этом разделительная подразумевает наличие выбора. Другими словами, дилемма - это выбор одного из двух вариантов.

Дилемма бывает простой конструктивной и сложной конструктивной, а также простой и сложной деструктивной. Первая имеет две посылки, одна из которых утверждает одинаковый исход двух предложенных ситуаций, другая говорит о том, что возможна одна из этих ситуаций. Следствие резюмирует утверждение первой посылки (условного суждения).

Если нажать на карандаш, он сломается; если согнуть карандаш, он сломается.

Можно нажать на карандаш или согнуть карандаш.

Карандаш сломается.

Сложная конструктивная дилемма предполагает более тяжелый выбор между альтернативами.

Трилемма состоит из двух посылок и следствия и предлагает выбор из трех вариантов или констатирует три факта.

Если спортсмен вовремя нанесет удар, то он победит; если спортсмен правильно распределит силы, то он победит; если спортсмен выполнит прыжок чисто, то он победит.

Спортсмен вовремя нанесет удар или правильно распределит силы на дистанции, или выполнит прыжок чисто.

Спортсмен победит.

Бывают случаи, когда в условных, разделительных или условно-разделительных умозаключениях пропускаются заключение или одна из посылок. Такие умозаключения называют сокращенными.

Умозаключение - это форма мышления, в которой из двух или нескольких суждений, называемых посылками, вытекает новое суждение, называемое заключением (выводом). Например:

Все живые организмы питаются влагой.

Все растения - это живые организмы.

=> Все растения питаются влагой.

В приведенном примере первые два суждения являются посылками, а третье - выводом. Посылки должны быть истинными суждениями и должны быть связаны между собой. Если хотя бы одна из посылок ложна, то и вывод ложен:

Все птицы - это млекопитающие животные.

Все воробьи - это птицы.

=> Все воробьи - это млекопитающие животные.

Как видим, в приведенном примере ложность первой посылки приводит к ложному выводу, несмотря на то что вторая посылка является истинной. Если посылки между собой не связаны, то вывод из них сделать невозможно. Например, из следующих двух посылок никакого вывода не следует:

Все планеты - это небесные тела.

Все сосны являются деревьями.

Обратим внимание на то, что умозаключения состоят из суждений, а суждения - из понятий, т. е. одна форма мышления входит в другую в качестве составной части.

Все умозаключения делятся на непосредственные и опосредованные.

В непосредственных умозаключениях вывод делается из одной посылки. Например:

Все цветы являются растениями.

=> Некоторые растения являются цветами.

Верно, что все цветы являются растениями.

=> Неверно, что некоторые цветы не являются растениями.

Нетрудно догадаться, что непосредственные умозаключения представляют собой уже известные нам операции преобразования простых суждений и выводы об истинности простых суждений по логическому квадрату. Первый приведенный пример непосредственного умозаключения является преобразованием простого суждения путем обращения, а во втором примере по логическому квадрату из истинности суждения вида А делается вывод о ложности суждения вида О.

В опосредованных умозаключениях вывод делается из нескольких посылок. Например:

Все рыбы - это живые существа.

Все караси - это рыбы.

=> Все караси - это живые существа.

Опосредованные умозаключения делятся на три вида: дедуктивные, индуктивные и умозаключения по аналогии.

Дедуктивные умозаключения (дедукция) (от лат. deductio - «выведение») - это умозаключения, в которых из общего правила делается вывод для частного случая (из общего правила выводится частный случай). Например:

Все звезды излучают энергию. Солнце - это звезда.

=> Солнце излучает энергию.

Как видим, первая посылка представляет собой общее правило, из которого (при помощи второй посылки) вытекает частный случай в виде вывода: если все звезды излучают энергию, значит, Солнце тоже ее излучает, потому что оно является звездой.

В дедукции рассуждение идет от общего к частному, от большего к меньшему, знание сужается, в силу чего дедуктивные выводы достоверны, т. е. точны, обязательны, необходимы. Посмотрим еще раз на приведенный пример. Мог бы из двух данных посылок вытекать иной вывод, кроме того, который из них вытекает? Не мог. Вытекающий вывод - единственно возможный в этом случае. Изобразим отношения между понятиями, из которых состояло наше умозаключение, кругами Эйлера.

Объемы трех понятий: звезды (3); тела, излучающие энергию (Т) и Солнце (С) схематично расположатся следующим образом (рис. 33).

Если объем понятия звезды включается в объем понятия тела, излучающие энергию , а объем понятия Солнце включается в объем понятия звезды, то объем понятия Солнце автоматически включается в объем понятия тела, излучающие энергию, в силу чего дедуктивный вывод и является достоверным.

Несомненное достоинство дедукции заключается в достоверности ее выводов. Вспомним, известный литературный герой Шерлок Холмс пользовался дедуктивным методом при раскрытии преступлений. Это значит, что он строил свои рассуждения таким образом, чтобы из общего выводить частное. В одном произведении, объясняя доктору Ватсону сущность своего дедуктивного метода, он приводит такой пример. Около убитого полковника Эшби сыщики Скотланд-Ярда обнаружили выкуренную сигару и решили, что полковник выкурил ее перед смертью. Однако Шерлок Холмс неопровержимо доказывает, что полковник нс мог выкурить эту сигару, потому что он носил большие, пышные усы, а сигара выкурена до конца, т. е., если бы ее курил полковник Эшби, то он непременно подпалил бы свои усы. Следовательно, сигару выкурил другой человек.

В этом рассуждении вывод выглядит убедительно именно потому, что он дедуктивный - из общего правила: Любой человек с большими, пышными усами не может выкурить сигару до конца , выводится частный случай: Полковник Эшби не мог выкурить сигару до конца, потому что носил такие усы. Приведем рассмотренное рассуждение к принятой в логике стандартной форме записи умозаключений в виде посылок и вывода:

Любой человек с большими, пышными усами не может

выкурить сигару до конца.

Полковник Эшби носил большие, пышные усы.

=> Полковник Эшби не мог выкурить сигару до конца.

Индуктивные умозаключения (индукция) (от лат. inductio - «наведение») - это умозаключения, в которых из нескольких частных случаев выводится общее правило. Например:

Юпитер движется.

Марс движется.

Венера движется.

Юпитер, Марс, Венера - это планеты.

=> Все планеты движутся.

Первые три посылки представляют собой частные случаи, четвертая посылка подводит их под один класс объектов, объединяет их, а в выводе говорится обо всех объектах этого класса, т. е. формулируется некое общее правило (вытекающее из трех частных случаев).

Легко увидеть, что индуктивные умозаключения строятся по принципу, противоположному построению дедуктивных умозаключений. В индукции рассуждение идет от частного к общему, от меньшего к большему, знание расширяется, в силу чего индуктивные выводы (в отличие от дедуктивных) нс достоверны, а вероятностны. В рассмотренном выше примере индукции признак, обнаруженный у некоторых объектов какой-то группы, перенесен на все объекты этой группы, сделано обобщение, которое почти всегда чревато ошибкой: вполне возможно наличие в группе каких-то исключений, и даже если множество объектов из некоторой группы характеризуется каким-то признаком, то это не означает, что таким признаком характеризуются все объекты данной группы. Вероятностный характер выводов является, конечно же, недостатком индукции. Однако ее несомненное достоинство и выгодное отличие от дедукции, которая представляет собой сужающееся знание, заключается в том, что индукция - это расширяющееся знание, способное приводить к новому, в то время как дедукция - это разбор старого и уже известного.

Умозаключения по аналогии (аналогия) (от греч. analogia - «соответствие») - это умозаключения, в которых на основе сходства предметов (объектов) в одних признаках делается вывод об их сходстве и в других признаках. Например:

Планета Земля расположена в Солнечной системе, на ней есть атмосфера, вода и жизнь.

Планета Марс расположена в Солнечной системе, на ней есть атмосфера и вода.

=> Вероятно, на Марсе есть жизнь.

Как видим, сопоставляются два объекта (планета Земля и планета Марс), которые сходны между собой в некоторых существенных, важных признаках (находиться в Солнечной системе, иметь атмосферу и воду). На основе данного сходства делается вывод о том, что, возможно, эти объекты сходны между собой и в других признаках: если на Земле есть жизнь, а Марс во многом похож на Землю, то не исключено наличие жизни и на Марсе. Выводы аналогии, как и выводы индукции, вероятностны.

Ну вот мы и добрались до самого главного. Основная задача логики – анализ рассуждений, а рассуждения складываются из предложений и слов или, говоря иначе, из суждений и понятий. Поэтому знакомство с логикой мы и начали с рассмотрения тех простых элементов, из которых образуются сложные мыслительные конструкции. Теперь можно познакомиться с самими этими конструкциями.

Умозаключение есть форма мышления, в которой из одного или нескольких суждений на основании определенных правил получают новое суждение.

Наши рассуждения в повседневной жизни или в профессиональной сфере – это и есть умозаключения или цепи умозаключений. Умозаключение есть средство извлечения нового знания из уже имеющегося. То знание, которое мы получаем в результате непосредственного контакта с окружающей средой, очень невелико – оно ненамного превосходит знания животных. Но на этом небольшом фундаменте человек воздвиг колоссальное сооружение, включающее в себя знание о звездах и галактиках, о структуре атома и элементарных частицах, о законах, управляющих наследственностью, о древних цивилизациях, об исчезнувших языках и океанских глубинах. Все это знание получено благодаря умению человека строить умозаключения.

Иногда человеческий ум определяют как способность строить умозаключения, делать выводы. Может быть, ум состоит не только в этом, но, несомненно, способность строить умозаключения и извлекать выводы из имеющейся информации – одна из важнейших его сторон. Вы смотрите утром на градусник, висящий за окном, и видите, что ртуть в нем опустилась до –70°C. Вот все, что у вас есть. Но отсюда вы делаете вывод, что на улице мороз. Вы еще не были на улице, не ощутили своей кожей укусов ветра, но уже знаете – там холодно. Откуда у вас это знание? Его вам дало умозаключение. Вы можете сделать еще один вывод: выходя на улицу, нужно одеться потеплее. Вы предвидите, какое воздействие окажет на вас мороз. Предвидение – это тоже умозаключение. Умный человек – тот, кто способен извлечь из имеющегося знания максимум новой информации, предвидеть ход событий и последствия своих действий. Шерлок Холмс и его друг доктор Ватсон часто ходят вместе, видят и слышат одно и то же, однако Холмс умеет извлечь из этого гораздо больше, чем Ватсон, поэтому и кажется нам умнее и проницательнее своего друга.

Всякое умозаключение состоит из двух частей: те суждения, из которых мы исходим, на которые мы опираемся в умозаключении, называются его посылками, новое суждение, извлекаемое нами из посылок, называется выводом. Все умозаключения разделяются на две большие группы – дедуктивные и индуктивные.

Дедуктивными называют такие умозаключения, в которых вывод из посылок следует с необходимостью, т.е. если посылки умозаключения истинны, то вывод обязательно будет истинным. Например, если мы знаем, что все гасконцы являются французами и д"Артаньян является гасконцем, то отсюда мы можем сделать вывод о том, что д"Артаньян является французом. И этот вывод будет безусловно истинным.

Об индуктивных умозаключениях мы позднее поговорим особо (в разделе «Индукция»), а сейчас познакомимся с некоторыми простыми и наиболее употребительными дедуктивными умозаключениями. Мы интуитивно используем их в повседневных рассуждениях, но часто ошибаемся, ибо не отдаем себе отчета в том, что это такое.

1) Вдоль стен квадратного бастиона комендант разместил 16 часовых, по 5 человек с каждой стороны, так, как показано на рисунке:

Через некоторое время пришел полковник, выразил недовольство расстановкой часовых и переставил их так, что с каждой стороны оказалось по 6 человек. Однако после этого появился генерал. Он также выразил недовольство и переставил часовых таким образом, что с каждой стороны их оказалось по 7.

Как расположил часовых полковник? Как их расставил генерал? Общее число часовых остается одним и тем же.

Непосредственными называют умозаключения из одной посылки, представляющей собой простое суждение.

Превращение состоит в том, что мы в нашу посылку вставляем два отрицания – одно перед связкой, а другое – перед предикатом, и так получаем новое суждение. Умозаключения принято изображать так: сначала пишется посылка (или посылки), под ней проводится черта, обозначающая слово «следовательно», а под чертой пишется вывод. Пусть посылкой у нас будет общеутвердительное суждение, тогда превращение выглядит так:

Все S есть P

Ни одно S не есть не-P

Например, суждение «Все металлы электропроводны» превращается в суждение «Ни один металл не является неэлектропроводным».

Если в качестве посылки взять общеотрицательное суждение, то превращение будет выглядеть так:

Ни одно S не есть P

Bce S есть не-P

Например, суждение «Ни один мошенник не является честным человеком» превращается в суждение «Все мошенники являются нечестными людьми». Когда здесь мы вставляем «не» перед связкой, то перед ней получаются два «не». Мы устраняем их, опираясь на принцип: двойное отрицание эквивалентно утверждению.

Конечно, вывод в таких умозаключениях дает очень мало нового по сравнению с посылкой. Это вполне естественно, так как мы по сути дела одному и тому же суждению лишь придаем иную языковую форму. Это не столько логическая, сколько грамматическая игра. Однако преобразование такого рода способно сделать явными некоторые оттенки смысла первоначального суждения, которые были скрыты в исходной формулировке. Мы часто пользуемся превращением суждений в повседневной жизни, когда хотим более ясно и отчетливо выразить свою мысль. Это часть нашей языковой способности.

Еще одной разновидностью непосредственного умозаключения является обращение. При обращении вывод получается путем постановки предиката посылки на место субъекта, а субъекта посылки – на место предиката. Общая схема обращения выглядит следующим образом:

Например, из суждения «Птицы есть позвоночные» мы путем обращения получаем вывод «Позвоночные есть птицы». Для того чтобы реально осуществить обращение, мы должны не просто поменять местами субъект и предикат, а сделать объект, отображаемый предикатом посылки, предметом нашей мысли, т.е. превратить его в субъект нового суждения. Иногда, например, производят обращение так: из суждения «Все рыбы дышат жабрами» получают вывод «Дышат жабрами все рыбы». Здесь нет логической операции обращения! Мы просто поменяли местами подлежащее и сказуемое. Чтобы получить обращение первоначального суждения, мы должны сделать предметом нашей мысли «дышащих жабрами» и говорить о них: «Дышащие жабрами есть рыбы».

В посылке перед субъектом стоит слово (квантор): «все» или «некоторые». Возникает вопрос: что мы должны поставить перед предикатом посылки, когда делаем его субъектом вывода, – «все» или «некоторые»? «Все дышащие жабрами» или только «некоторые дышащие жабрами» есть рыбы? Пытаясь ответить на этот вопрос, мы начинаем вдумываться в содержание понятия «дышащие жабрами», вспоминаем, а кто еще, помимо рыб, мог бы дышать жабрами, быть может, лягушки или какие-нибудь тритоны? Не нужно всего этого! Логика – наука формальная и вовсе не обязана знать, чем занимаются лягушки или рыбы, как математика, складывая 2 и 3, вовсе не интересуется тем, что вы считаете – рубли, доллары или кирпичи. Логика задает формальные правила, не зависящие от содержания наших понятий и суждений. В данном случае правило таково: если посылкой является утвердительное суждение, то при обращении перед предикатом ставят слово «некоторые»; если же посылка является отрицательным суждением, то перед предикатом ставят слово «все». Наша посылка «Все рыбы дышат жабрами» является утвердительным суждением, значит, из нее можно сделать вывод «Некоторые дышащие жабрами есть рыбы». А вот из отрицательной посылки «Ни один слон не живет в Арктике» можно сделать общий вывод «Всякий живущий в Арктике не есть слон».

2) Три путешественника забрели на постоялый двор, хорошо покушали, заплатили хозяйке 30 руб. и пошли дальше. Через некоторое время после их ухода хозяйка обнаружила, что взяла с путешественников лишнее. Будучи женщиной честной, она оставила себе 25 руб., а 5 руб. дала мальчику, наказав ему догнать путешественников и отдать им эти деньги. Мальчик бегал быстро и скоро догнал путешественников. Как им разделить 5 руб. на троих? Каждый из них взял по 1 руб., а 2 руб. оставили мальчику в награду за быстроногость.

Таким образом, они заплатили за обед по 10руб., но по 1 руб. получили обратно, следовательно, они заплатили: 9х3 = 27руб. Да 2 руб. осталось у мальчика: 27 + 2 = 29 руб. Но вначале-то было 30 руб.! Куда делся 1 руб.?

3) Жили-были два пастуха, Иван да Петр, пасли они овец. И вот как-то Иван говорит: «Слушай, отдай мне одну овцу, тогда у меня овец будет в 3 раза больше, чем у тебя!». «Нет, – отвечает Петр, – лучше ты мне отдай одну овцу, тогда у нас их станет поровну!»

Сколько овец было у Ивана и сколько у Петра?

Умозаключения из одной посылки просты. Несколько более сложными являются умозаключения из двух посылок. Среди них одно из наиболее распространенных – простой категорический силлогизм Его открыл в наших повседневных рассуждениях и описал Аристотель, и в значительной мере именно поэтому он считается создателем логики как науки. Вот пример простого категорического силлогизма:

Все люди смертны.

Сократ – человек.

Сократ смертен.

Здесь мы видим уже две посылки: «Все люди смертны» и «Сократ – человек». Из этих двух суждений мы выводим новое суждение «Сократ смертей». Если вы обратите внимание на свои рассуждения, то очень скоро обнаружите, что часто используете такой способ вывода.

Понятия, из которых состоят посылки и вывод силлогизма, называются его терминами. В силлогизме всего три термина.

Меньшим термином силлогизма называется субъект вывода. Он обозначается буквой «S», как субъект в структуре простого суждения. Но здесь эта буква обозначает меньший термин, который в посылке может встретиться и на месте предиката. В нашем примере меньшим термином будет понятие «Сократ».

Большим термином силлогизма называется предикат вывода. Он обозначается буквой «P», как предикат в структуре простого суждения, но здесь эта буква обозначает больший термин, который в посылке может стоять и на месте субъекта. В нашем примере большим термином будет понятие «смертны».

Наконец, средним термином силлогизма называется понятие, входящее в обе посылки, но отсутствующее в выводе. Он обозначается буквой «M». В нашем примере средним термином является понятие «люди». (Слова «люди» и «человек» выражают одно и то же понятие, различие между ними носит лишь грамматический характер, не обращайте на него внимания.)

Силлогизм – это умозаключение, говорящее о соотношении объемов входящих в него понятий. Первая посылка говорит о том, что класс людей входит в класс смертных существ; вторая посылка говорит о том, что Сократ входит в класс людей; опираясь на эти два соотношения, мы делаем вывод о том, что Сократ включается в класс смертных существ.

Мы часто строим свои рассуждения в виде простого категорического силлогизма, опираясь на свою интуицию. Но часто ошибаемся при этом. Логика устанавливает некоторые простые правила, которые помогают избежать ошибок и неверных выводов.

Например, в силлогизме должно быть только три термина. Если появляется четвертый термин, силлогизм разрушается: мы не можем найти среднего термина и сделать вывод. Даны вам, скажем, такие посылки:

Все артисты самолюбивы.

Олег Табаков талантлив.

Здесь четыре термина. Какой из них считать средним? Какой меньшим или большим? Это просто два никак не связанных между собой суждения, из которых никакого нового знания извлечь нельзя. Ошибка, связанная с нарушением указанного правила, так и называется – «учетверение терминов». Кажется, что эту ошибку трудно совершить. Однако она встречается довольно часто и обусловлена многозначностью слов нашего повседневного языка. Одно и то же слово в одной посылке может употребляться в одном смысле, а в другой посылке – в ином смысле и выражать, таким образом, два разных понятия. Получается четыре термина, хотя слов-то всего три. Например:

Движение вечно.

Хождение в институт – движение.

Хождение в институт вечно.

Здесь слово «движение» в одной посылке употребляется для выражения философского понятия движения как универсального свойства материального мира, а в другой посылке оно выражает бытовое, обыденное понятие движения. Поэтому и получается нелепый вывод.

Шуба греет.

«Шуба» – русское слово.

Некоторые русские слова греют.

Здесь кавычки нам показывают, что слово «шуба» используется в разных смыслах в первой и второй посылках. Однако в устной речи это различие может остаться незамеченным. Приведенные примеры просты и прозрачны, но во многих случаях учетверение терминов носит более тонкий характер и его нелегко распознать.

Еще одно правило гласит: из двух отрицательных посылок нельзя сделать никакого вывода. Например:

Ярко-красные цветы не имеют запаха.

Этот цветок не имеет запаха.

Можно ли сделать вывод о том, что этот цветок ярко-красный? Нет, он может быть любого цвета.

Другие правила силлогизма столь же просты. Теперь взгляните на четыре следующих силлогизма и попробуйте понять, чем они отличаются друг от друга.

Все рыбы плавают.

Щуки являются рыбами.

Щуки плавают.

Всякий человек имеет две ноги.

Буратино имеет две ноги.

Буратино – человек.

Вы можете заметить, что средний термин в этих примерах стоит в посылках на разных местах. В первом примере средний термин «рыбы» в первой посылке стоит на месте субъекта, а во второй – на месте предиката. Во втором средний термин «имеет две ноги» в обеих посылках стоит на месте предиката. В третьем средний термин «птицы» в обеих посылках стоит на месте субъекта. Наконец, в четвертом примере средний термин «параллелограмм» в первой посылке стоит на месте предиката, а во второй – на месте субъекта. Все это разные способы рассуждения, построенные в виде простого категорического силлогизма. Они называются фигурами силлогизма. Иначе говоря: фигурами силлогизма называются его разновидности, отличающиеся друг от друга расположением среднего термина в посылках. Существует всего четыре фигуры. Вот их схематичное представление:

Подставляя вместо букв «S», «P» и «M» различные понятия, мы будем получать рассуждения, имеющие вид одной из фигур силлогизма.

Однако в повседневной речи мы редко пользуемся развернутыми силлогизмами, ибо язык наш – великий лентяй! Он почти никогда не выговаривает полностью всего того, что мы хотим сказать (хотя порой выбалтывает такое, о чем лучше бы умолчать). Обратите внимание на свою речь, на речь ваших друзей и знакомых, и вы легко убедитесь, сколь многое нами не договаривается, подразумевается, как легко ошибиться, домысливая речь собеседника. Вот, например, беседуют два приятеля:

– Ну и чем же закончилась вчера твоя ссора с женой?

– О, я заставил ее встать передо мной на колени.

– Вот как! И что же она сказала?

– Вылезай из-под кровати, подлый трус!

Вот так мы сокращаем и наши силлогизмы, не высказывая в явном виде все его посылки или вывод в надежде на то, что собеседник сам домыслит недостающее звено и поймет нас. Это вполне естественно. Тяжело-разговаривать с человеком, который стремится произнести вслух даже самые очевидные вещи. Он напоминает полковника Фридриха Крауса фон Циллергута из романа Я. Гашека «Похождения бравого солдата Швейка», любившего все пояснять и объяснять и заслужившего вследствие этого славу величайшего осла и зануды. Вряд ли вы долго выдержите такие, например, рассуждения: «Дорога, по обеим сторонам которой тянутся канавы, называется шоссе. Да-с, господа. Знаете ли вы, что такое канава? Канава – это выкопанное значительным числом рабочих углубление. Да-с. Копают канавы при помощи кирок. Известно ли вам, что такое кирка?»

Силлогизм, в котором опущена и лишь подразумевается одна из частей – посылка или вывод, – называется энтимемой. В повседневной жизни мы пользуемся сокращенными силлогизмами – энтимемами. Это вполне естественно, но это также служит причиной многих ошибок в наших рассуждениях. Когда силлогизм представлен в полном виде, ошибку легко заметить. Но если какая-то его часть опущена, подразумевается, то именно в ней-то и может скрываться ошибка – либо подразумеваемая часть ложна, либо образует неправильный силлогизм. Допустим, я высокомерно заявляю:

«Этот человек глуп, так как он не знает логики!» Это энтимема.

Восстановим подразумеваемую посылку и запишем полный силлогизм:

Всякий человек, не знающий логики, глуп.

Этот человек не знает логики.

Этот человек глуп.

Сразу же становится видно, что подразумеваемая и восстановленная посылка ложна: далеко не каждый человек, не знающий логики, глуп. Многие люди, никогда не изучавшие логику, обладают тем не менее острым и проницательным умом. И наоборот, некоторые люди всю жизнь занимаются логикой, оставаясь при этом весьма недалекими личностями. Логика помогает нашему разуму, но все-таки разум нужно иметь – как нужно иметь ноги, чтобы тебе помогали костыли.

4) Произошла кража, и были задержаны трое подозреваемых. Один из них вор, который постоянно лжет; другой является соучастником и лжет лишь иногда; третий – честный человек, который никогда не лжет. Дознание началось с вопросов о профессии каждого из задержанных. Следователь получил такие ответы.

Щукин: я маляр, Карасев – настройщик роялей, а Окунев – дизайнер.

Карасев: я врач, Окунев – страховой агент. Что же касается Щукина, то, если вы его спросите, он ответит, что он маляр.

Окунев: Карасев – настройщик роялей, Щукин – дизайнер, а я – страховой агент.

По этим ответам следователь догадался, кто есть кто. Догадайтесь и вы!

Если вы учились в школе, то, по-видимому, помните простую схему рассуждения, имеющую вид: «Если а, то в; если в, то с; следовательно, если а, то с». Скажем, в арифметике это рассуждение представлено принципом: если две величины порознь равны третьей, то они равны между собой. Такого рода рассуждения называются условными силлогизмами: здесь и посылки и вывод являются условными суждениями. Вот пример условного силлогизма, взятый из рассказа В. Билибина, русского писателя начала XX в.:

«Если бы на свете не существовало Солнца, то пришлось бы постоянно жечь свечи и керосин.

Если бы пришлось постоянно жечь свечи и керосин, то чиновникам не хватало бы их жалованья и они брали бы взятки. Следовательно, чиновники не берут взяток потому, что на свете существует Солнце».

Еще больше распространены рассуждения, в которых одна посылка является условным суждением, вторая посылка и вывод – простыми категорическими суждениями. Такое рассуждение называется условно-категорическим силлогизмом. Например, когда вы чувствуете недомогание, то первое, что вы делаете, ставите себе градусник. И когда вы приходите в поликлинику, то вам опять-таки сначала ставят градусник. Мы исходим при этом из посылки: «Если у человека повышена температура, то человек болен». Если у вас действительно обнаруживается повышенная температура, то вас признают больным, освобождают от работы или учебных занятий, ваши домашние ходят вокруг вас на цыпочках и стараются напоить вас чаем с малиной При этом мы рассуждаем следующим образом:

Если у человека повышена температура, то человек болен.

У данного человека повышена температура. Следовательно, данный человек болен. Представим наше рассуждение в символической форме. Обозначим суждение «У человека повышена температура» буквой A, суждение «Человек болен» – буквой B. Тогда наше рассуждение получит вид:

(стрелка «->» читается как «если… то»). Мы помним, что первая часть условной посылки называется основанием, вторая – следствием. Вторая посылка нашего рассуждения утверждает, что основание имеет место, отсюда мы делаем вывод, что и следствие должно иметь место. Рассуждение, имеющее такой вид, называется утверждающим модусом условно-категорического силлогизма (или modus ponens, если воспользоваться латынью): здесь мы от утверждения основания переходим к утверждению следствия условной посылки.

Однако при той же условной посылке рассуждение может протекать иначе. Поставили вам градусник, но температура оказалась нормальной. Отсюда делают вывод, что вы не больны, от занятий вас не освобождают, чаем вас не поят. Рассуждение имеет вид:

При той же условной посылке можно двигаться к выводу, утверждая или отрицая ее следствие. Таким образом, условно-категорический силлогизм имеет всего четыре модуса:

Первый и последний называются «правильными» модусами: они обеспечивают достоверный вывод; второй и третий – «неправильными» модусами: они не дают достоверного вывода – так рассуждать нельзя, это приведет к ошибке, в чем нетрудно убедиться.

Повышенной температуры у вас не обнаружили, но каждый из нас знает, что это вовсе не означает, что вы не больны: многие болезни не сопровождаются повышением температуры. Поэтому вывод о том, что человек не болен, может оказаться ошибочным. В третьем модусе из того, что человек болен, мы делаем вывод о том, что у него должна быть повышена температура. По тем же самым причинам этот вывод может оказаться ошибочным. Наконец, четвертый модус говорит нам, что если человек не болен, то у него нет температуры. Этот вывод вполне достоверен: если вы здоровы, то температура у вас нормальная.

Таким образом, если вы свое рассуждение строите по первому и последнему модусу – вы рассуждаете правильно; если же свое рассуждение вы строите по второму или третьему модусу – вы рискуете совершить ошибку.

5) «Идите сюда, – сказал я как-то трем студентам. – Вот у меня здесь 5 шапок: 3 белые и 2 черные. Закройте глаза, и я надену на каждого из вас шапку. Когда вы откроете глаза, то сможете увидеть, какого цвета шапки на ваших товарищах. Свою собственную шапку вы увидеть не сможете и не увидите, какие шапки остались у меня. Тот, кто догадается, какого цвета на нем шапка, сразу же получит зачет по логике».

Через некоторое время, не обменявшись ни единым словом, студенты закричали: «На мне белая шапка!» Пришлось мне всем троим поставить зачет. А вы бы догадались?

Например, просыпаетесь вы утром и, еще лежа в постели, начинаете рассуждать: «Сегодня днем я могу пойти на свидание или на занятия. Пойду-ка я на свидание. Следовательно, на занятия я не пойду». Здесь первая посылка вашего рассуждения представляет собой разделительное суждение «Я могу пойти на свидание (A) или пойти на занятия (B)», символически: A v B. Вторая посылка утверждает одну из возможностей, указанных в разделительной посылке: «Я пойду на свидание» (A). Вывод отрицает вторую возможность: «Следовательно, я не пойду на занятия» (Не-B). Ясно, что вы можете рассуждать и несколько иначе: «Нет, на свидание я не пойду. Следовательно, я пойду на занятия». Символически эти два способа рассуждения можно представить следующим образом:

Они называются модусами разделительно-категорического силлогизма. Первый модус называется утверждающе-отрицающим, второй – отрицающе-утверждающим. Оба модуса могут приводить как к верным, так и к ошибочным заключениям. Для того чтобы не совершать ошибок при рассуждениях, имеющих вид разделительно-категорического силлогизма, нужно выполнить требование к разделительной посылке. При утверждающе-отрицающем модусе разделительная посылка должна быть строго разделительной, т.е. альтернативы должны исключать друг друга. Если это требование не соблюдено, вывод может оказаться ошибочным. Например, встречаете вы знакомого, идущего с дамой, и думаете: «Эта дама ему мать или жена». Выясняется, что дама приходится ему женой. «Ага, – делаете вы вывод, – значит, она ему не мать». Это – утверждающе-отрицающий модус, и его разделительная посылка является строго разделительной. Вывод вполне достоверен.

Но вот другой случай. Вы видите вашего знакомого, с изможденным видом бредущего по улице. «Он болен или беден», – думаете вы. Выясняется, что ваш знакомый давно и неизлечимо болен. «Значит, он не беден», – делаете вы вывод. Увы, разделительная посылка не является строго разделительной: болезнь и бедность отнюдь не исключают друг друга, особенно в наше время. Вывод может оказаться ошибочным.

Для отрицающе-утверждающего модуса требование таково: разделительная посылка должна быть исчерпывающей, т.е. должна охватывать все возможности, существующие в данной области рассуждений. В противном случае вывод может оказаться неверным.

Логическая структура именно этого модуса часто лежит в основе многих детективных сюжетов и реальной следственной практики. Совершено преступление, и следователь очерчивает круг возможных участников преступления. Дальнейшая его работа или развитие сюжета заключаются в том, что он проверяет подозреваемых и по одному отсеивает их: этот был болен, тот сидел в тюрьме в момент совершения преступления, того видели несколько человек в другом месте и т.д. Кто останется – тот и преступник. Это и есть отрицающе-утверждающий модус: преступление мог совершить A или B; A не мог совершить преступления, следовательно, его совершил B.

Хорошо, если в разделительной посылке перечислены все возможные участники преступления. А если нет? Осуждают B, а через некоторое время выясняется, что следствие упустило из виду некоего C, который и является подлинным преступником: в разделительной посылке рассуждения были учтены не все возможности. Ошибся следователь, мог ошибиться и суд. Поэтому сначала нужно доказать, что разделительная посылка является исчерпывающей, и только потом делать вывод. Тогда он будет вполне достоверным.

Конечно, в повседневной жизни и в профессиональной деятельности мы не ограничиваемся теми простыми выводами, с которыми познакомились. Мы можем соединять и комбинировать их самыми разнообразными способами, например, в одном рассуждении можно соединить условно-категорический и разделительно-категорический силлогизмы, тогда мы получим то, что называют дилеммой:

Если пойдешь направо, коня потеряешь. Если пойдешь налево, голову потеряешь. Но нужно идти направо или налево. Придется потерять коня или голову.

Но сложные комбинации умозаключений можно разложить на их простые формы и, таким образом, проверить правильность наших рассуждений.

6) Зашли как-то три крестьянина на постоялый двор. Попросили они хозяйку сварить им чугунок картофеля, а сами повалились спать. Хозяйка сварила картофель и поставила чугунок на стол.

Проснулся один крестьянин, посчитал количество картофелин и съел ровно 1/3 часть. После этого он опять улегся спать. Проснулся другой крестьянин, посчитал картофелины и, думая, что никто еще не ел, съел ровно 1/3 часть. И тоже лег досыпать. Наконец, проснулся третий крестьянин, посчитал количество картофелин и, думая, что никто еще не ел, съел ровно 1/3 часть. Тут проснулись и его товарищи. Заглянули в чугунок, а там осталось всего 8 картофелин.

Спрашивается: сколько всего картофелин сварила хозяйка? Сколько штук съел каждый крестьянин? Сколько еще должен съесть каждый крестьянин, чтобы всем досталось поровну?

7) Жил-был один дехканин, и было у него 17 основ и 3 сына. Умирая, он завещал поделить ослов между сыновьями таким образом: 1/2 – старшему сыну; 1/3 – среднему и 1/9 – младшему. Кинулись братья делить наследство, да что-то никак не получается: не рубить же осла на части! Позвали судью на помощь, но и тот ничего не смог придумать. Кто-то посоветовал братьям обратиться за помощью к одному мудрому старцу, живущему в соседней деревне. Тот приехал, разделил ослов между братьями так, как завещал отец, и уехал, провожаемый благодарностями.

Как сумел мудрец выполнить завещание отца?

Откуда берутся посылки дедуктивных выводов? Что дает нам основание считать их истинными? Конечно, иногда их можно вывести дедуктивно из более общих суждений и посредством этого обосновать их истинность. Однако рано или поздно мы дойдем до таких суждений, для обоснования которых нет более общих посылок, следовательно, их истинность нельзя обосновать дедуктивно. В таких случаях мы прибегаем к помощи индукции.

Индуктивными называют умозаключения, расширяющие наше знание и дающие не достоверный, а лишь вероятный вывод. Посылки индуктивного рассуждения лишь в той или иной степени подтверждают или делают вероятным заключение, но отнюдь не обеспечивают его достоверности. Наиболее типичным индуктивным заключением является вывод от частных случаев к общему утверждению.

В повседневной жизни мы на каждом шагу делаем такие выводы. Когда вы приходите в некое государственное учреждение и даете взятку сначала одному чиновнику, затем другому, вы думаете про себя: «Все чиновники здесь – взяточники!» Или девушка, встретив одного молодого человека и разочаровавшись в нем, затем встретив другого, быть может, уже не столь молодого человека, и вновь испытав разочарование, порой приходит к выводу:

«Все мужчины – подлецы!»

Различают популярную и научную индукцию. При популярной индукции мы спешим сделать обобщение, опираясь на первые попавшиеся частные случаи. Наши примеры как раз демонстрируют индукцию такого рода. Достоверность вывода при популярной индукции весьма невысока, здесь очень легко совершить ошибку, что мы обычно и делаем.

Если же мы сознательно стремимся повысить достоверность индуктивного вывода и принимаем для этого некоторые меры, то такая индукция называется научной. В частности, желательно исследовать как можно больше представителей того класса предметов, к которому относится обобщение. Далее, изучаемые факты должны быть как можно более разнообразными. Наконец, эти факты должны быть типичными для данного класса явлений. При соблюдении этих условий достоверность индуктивного вывода существенно повышается. Так, если бы вы захотели сделать свой вывод о чиновниках данного учреждения более достоверным, вам следовало бы не ограничиваться одним-двумя встреченными вами чиновниками, а познакомиться с большим их количеством, причем принадлежащими к разным ступеням чиновничьей иерархии. Многочисленные примеры подобных выводов можно найти в социологии: стараясь обеспечить достоверность своих утверждений, социолог, по сути, заботится о соблюдении правил научной индукции.

Однако следует помнить о том, что и при соблюдении указанных правил мы можем приходить к ошибочным заключениям. Частые ошибки тех же социологов это наглядно демонстрируют. Но вот пример, придуманный физиками, иллюстрирующий, как обстоит дело в естествознании: «Употреблять в пищу огурцы опасно – с ними связаны все телесные недуги и вообще людские несчастья. Практически все люди, страдающие хроническими заболеваниями, ели огурцы. 99,9% всех людей, умерших от рака, при жизни ели огурцы. 99,7% всех лиц, ставших жертвами авто- и авиакатастроф, употребляли в пищу огурцы в течение двух недель, предшествовавших фатальному несчастному случаю. 93,1% всех несовершеннолетних преступников происходят из семей, где огурцы потребляли постоянно». Этот пример показывает, как легко оснастить ошибочную гипотезу статистическими данными и выдать глупость за научную истину.

Всегда следует помнить о том, что как бы хорошо ни был обоснован индуктивный вывод, сколь бы многочисленными ни были свидетельства в его пользу, с логической точки зрения он всегда остается проблематичным. Поэтому всякий выход за пределы имеющегося знания, всякая попытка получить новое знание связана с риском – с риском ошибиться. Но именно благодаря этому история человеческого познания представляет собой не унылую последовательность неизменных успехов, а драматическое приключение, в котором победы сменяются поражениями, взлеты – падениями, успехи – разочарованиями. Именно риск делает научную игру столь увлекательной и азартной.

1) Эта задача решается просто: нужно переставлять часовых из середины бастиона на его углы, как показано на следующих рисунках:

2) К сожалению, здесь простой и наглый обман. Путешественники действительно заплатили 27 руб. Но это и все, никаких 30 руб. уже нет! Из этих 27 руб. хозяйка взяла себе 25 руб. и 2 руб. осталось у мальчика. На каком основании к этим 27 руб. я добавляю еще 2 руб.? Откуда я их взял? Где они? И деньги хозяйки, и деньги мальчика уже посчитаны – они в уплаченных 27 руб. Я выдумал эти 2 руб., чтобы ввести вас в заблуждение.

3) Для решения этой задачи достаточно несложных арифметических действий. Если Иван отдаст 1 овцу Петру, то овец у них станет поровну. Это позволяет нам составить равенство: овцы Петра + 1 = овцы Ивана – 1. Отсюда мы легко заключаем, что у Ивана на 2 овцы больше. Дальнейшее в том же духе. Ответ: у Петра было 3 овцы, у Ивана – 5.

4) Не знаешь, с чего начать. Но есть одна зацепка, помогающая размотать клубок. Карасев сказал: «Если вы спросите у Щукина о его профессии, он ответит, что он маляр». И Щукин действительно сказал, что он маляр! Значит, Карасев хотя бы одну правду сказал, следовательно, он не может быть вором, который всегда лжет. Может быть, Карасев – соучастник, который иногда говорит правду, а иногда лжет? Тогда вором и честным человеком должны быть Щукин и Окунев, и их ответы должны полностью отличаться один от другого, так как один из них всегда говорит правду, а другой постоянно лжет. Нет, такого не получается: ответы Щукина и Окунева в одном пункте совпадают. Следовательно, только Карасев может быть честным человеком и все, что он сказал, – правда. Ответы Окунева в одном пункте совпадают с ответами Карасева, следовательно, Окунев – соучастник преступления. И естественно, Щукин не может быть никем иным, как вором.

5) Обозначим студентов буквами A, B, C и поставим себя на место A. Он рассуждает так: «Я вижу перед собой две белые шапки. Значит, на мне белая или черная шапка. Если на мне черная шапка, то B видит перед собой черную и белую шапки. Но B ведь тоже рассуждает: „Если бы на мне была черная шапка, то C видел бы перед собой две черные шапки и сразу же догадался бы, что на нем самом белая шапка. Но C молчит, значит, на мне – белая шапка“. Таким образом, – продолжает рассуждать A, – если бы на мне была черная шапка, то B уже догадался бы, что на нем самом должна быть белая шапка. Но B молчит. Значит, он не видит на мне черной шапки. Следовательно, на мне – белая шапка!» Так рассуждал каждый из них, а поскольку все студенты соображали одинаково быстро, они одновременно решили задачу.

6) Здесь важна логика рассуждения, приводящего к решению. Нужно двигаться с конца к началу. В конце осталось 8 картофелин, что равно 2/3 того количества, которое обнаружил в чугунке третий крестьянин. Значит, всего он обнаружил 12 штук. Но это равно 2/3 того количества, которое нашел второй крестьянин. Значит, там было 18 штук. Опять-таки, это равно 2/3 того количества картофеля, которое обнаружил первый крестьянин. Следовательно, первый нашел в чугунке 27 картофелин. Столько картофелин сварила хозяйка. Первый съел 9 штук и больше ни на что претендовать не может. Второй съел 6 штук, и ему еще полагается 3 картофелины. Третий съел всего 4 штуки и должен получить еще 5 картофелин.

7) Эта задача сложная, боюсь, не все с ней справились. Действительно, 17 не делится ни пополам, ни на три части, ни на девять частей. Но вы помните: мудрец приехал, он приехал на осле! Добавив своего осла к ослам братьев, он получил 18 ослов. Половину, т.е. 9 ослов, он отдал старшему брату; третью часть, 6 ослов, он отдал среднему брату и девятую часть – двух ослов – передал младшему. Итак: 9 + 6 + 2 = 17. После этого он сел на своего осла и уехал.

План лекции :

Общая характеристика умозаключения.

Виды умозаключений.

Однопосылочные умозаключения (превращение, обращение, противопоставление предикату и субъекту).

Аксиома силлогизма.

Условия получения истинности заключения в простом категорическом силлогизме.

Общие правила простого категорического силлогизма.

Фигуры и модусы простого категорического силлогизма.

Умозаключения со сложными посылками.

Сокращенные, сложные и сложносокращенные умозаключения.

Правдоподобные умозаключения.

Индукция как вид умозаключения.

Связь индукции и дедукции в познании.

Полная и неполная индукция.

Методы установления причинных связей.

Аналогия и выводы по аналогии.

Виды умозаключений по аналогии.

Общая характеристика умозаключения.

В процессе познания очевидные утверждения составляют лишь часть всех истин. Обычно для установления истины приходится в каждом случае производить особое исследование, т.е. четко поставить вопрос, принять во внимание ранее установленные истины, собрать необходимые факты, поставить опыты, осмыслить их результат, проверить на практике возникшие догадки и т.д.

Установление истины возможно и логическим путем. Происходит это с помощью рассуждений. Рассуждением называется ряд суждений, которые относятся к определенному предмету или вопросу, идут одно за другим таким образом, что из предшествующих суждений с необходимостью или высокой вероятностью следуют другие, а в результате получается единственно правильный либо приемлемый ответ на поставленный вопрос.

Умозаключение – это форма мышления, в которой из одного или нескольких истинных суждений на основании определенных правил вывода получается новое суждение, которое с непреложностью ил определенной степенью вероятности следует из них.

Какова структура умозаключения?

Элементами любого умозаключения являются простые или сложные суждения. Суждения, из которых можно получить новое знание и из которых, раз они признаны истинными, с необходимостью следует какое-либо новое суждение, называются посылками умозаключения. Суждение, которое признается истинным и получено путем умозаключения, называется выводом, или заключением, или логическим следствием. Например, из двух посылок: (1) «Студент Иванов – член сборной команды университета по баскетболу» и (2) «Студент Краснов на всех соревнованиях по баскетболу эффективно играет в паре со студентом Ивановым» следует вывод (заключение, логическое следствие): (3) «Студент Краснов – член сборной команды университета по баскетболу».

Формальная логика специально занимается установлением правил, соблюдение которых обеспечивало бы надежный истинный вывод.

Каковы же условия истинности выводов?

Первое условие: истинность выводов зависит от истинности посылок умозаключения. При наличии хотя бы одного ложного (полностью или частично) суждения (посылки) вывод истинным быть не может. Это потому, что вывод следует из посылок как мысль, связанная с посылками необходимой логической связью.

Второе условие: истинность выводов зависит от наличия правильной логической связи между посылками, а также между посылками и выводом. Эти правильные логические связи есть законы формальной логики. Но правила вывода обеспечивают лишь формальную правильность умозаключения. Если все множество суждений, которое мы берем в качестве посылок, представляет собой несомненные истины, то логически неверное связывание их никогда не сможет дать обоснованного правильного вывода.

По степени общности и посылок умозаключения делятся на три группы: 1) дедуктивные, в которых мысль идет от большей к меньшей общности знания; 2) индуктивные, когда мысль развивается от знания одной степени общности к новому знанию, большей степени общности; 3) умозаключения по аналогии, у которых посылки и выводы выражают знание одинаковой степени общности.

В отдельных дедуктивных заключениях можно идти от единичного к частному (единичное суждение приравнивается к общему), но непременным остается ход мысли от общего к частному или единичному. Для дедукции характерно подведение частного случая под общее правило или выведение (deductio) из общего правила следствий относительно частного случая. Поэтому выводы дедуктивного умозаключения обладают достоверностью и носят принудительный характер.

Посылками дедуктивного умозаключения могут быть суждения всех типов логических союзов – категорические, разделительные, условные суждения или разнообразное их сочетание, определяющее характер вывода. Соответственно этому дедуктивные умозаключения бывают: категорические, разделительно-категорические и условно-разделительные.

Рассмотрение дедуктивных умозаключений принято начинать с категорических, с особой, наиболее типичной для дедукции формы этих умозаключений, называемой силлогизмом (от греч. syllogismos - сосчитывание).